Exercício 4: Considere um sistema cuja função de transferência em malha aberta é dada por:
Determine os valores de
tal que o sistema em malha fechada seja estável e esboce o lugar das raízes considerando uma aproximação de Padé
para o termo exponencial do atraso.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência em malha aberta com atraso
e pede (a) os valores de
que garantem estabilidade em malha fechada e (b) o lugar das raízes usando a aproximação de Padé de
ª ordem
O conteúdo é estabilidade de sistemas e lugar das raízes; vamos substituir o atraso pela Padé, obter a equação característica e aplicar Routh, depois identificar polos e zeros para esboçar o lugar das raízes.
Passo 2
Substituindo a Padé, a FT de malha aberta aproximada fica
Em malha fechada de ganho unitário temos a condição
Passo 3
Vamos expandir e agrupar em potências de
:
Passo 4
Para um polinômio de
ª ordem
ser estável basta
,
,
. Aqui
Como
sempre, pedimos
Note também que
para manter o denominador original, mas isso fica dentro de
. Logo a malha fechada é estável se
Passo 5
Para esboçar o lugar das raízes usamos os polos e zeros da FT aproximada em malha aberta:
— polos: .
— zeros: .
Ao aumentar a partir de zero os dois polos conjugados partem de
e seguem em direção aos zeros
. Como o ganho efetivo é
— polos:
— zeros:
Ao aumentar
eles não alcançam totalmente os zeros, mas se aproximam do eixo imaginário em
, sem cruzar o eixo. O esboço é:
— Marcar polos ( ) em
.
— Marcar zeros ( ) em
.
— Trajetórias curvas com setas saindo dos polos e avançando para a região de zeros, aproximando-se de .
— Marcar polos (
— Marcar zeros (
— Trajetórias curvas com setas saindo dos polos e avançando para a região de zeros, aproximando-se de