Exercício 4: Considere um sistema cuja função de transferência em malha aberta é dada por:
Gm a(s)=k e^-2 s(k+1)
Determine os valores de k tal que o sistema em malha fechada seja estável e esboce o lugar das raízes considerando uma aproximação de Padé
e^-2 s=4 s^2-12 s+124 s^2+12 s+12
para o termo exponencial do atraso.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta com atraso
Gma(s)=k,e^-2sk+1
e pede (a) os valores de k que garantem estabilidade em malha fechada e (b) o lugar das raízes usando a aproximação de Padé de 2ª ordem
e^-2s=4s^2-12s+124s^2+12s+12
O conteúdo é estabilidade de sistemas e lugar das raízes; vamos substituir o atraso pela Padé, obter a equação característica e aplicar Routh, depois identificar polos e zeros para esboçar o lugar das raízes.

Passo 2

Substituindo a Padé, a FT de malha aberta aproximada fica
G(s)=k,k+1,,4s^2-12s+124s^2+12s+12
Em malha fechada de ganho unitário temos a condição
1+G(s)=0 ;Longrightarrow; (k+1)l(4s^2+12s+12r)+kl(4s^2-12s+12r)=0

Passo 3

Vamos expandir e agrupar em potências de s:
(k+1)cdot4s^2 + (k+1)cdot12s + (k+1)cdot12 ;+; kcdot4s^2 - kcdot12s + kcdot12 =0
Longrightarrow; 4(2k+1),s^2 ;+;12,s;+;12(2k+1)=0

Passo 4

Para um polinômio de 2ª ordem a,s^2+b,s+c=0 ser estável basta a>0, b>0, c>0. Aqui
a=4(2k+1), b=12, c=12(2k+1)
Como b=12>0 sempre, pedimos
2k+1>0 ;Longrightarrow; k>-12
Note também que kneq-1 para manter o denominador original, mas isso fica dentro de k>-tfrac12. Logo a malha fechada é estável se
boxedk>-tfrac12

Passo 5

Para esboçar o lugar das raízes usamos os polos e zeros da FT aproximada em malha aberta:
— polos: 4s^2+12s+12=0 Longrightarrow s=-1,5pm j0,866.
— zeros: 4s^2-12s+12=0 Longrightarrow s=1,5pm j0,866.
Ao aumentar k a partir de zero os dois polos conjugados partem de -1,5pm j0,866 e seguem em direção aos zeros 1,5pm j0,866. Como o ganho efetivo é
K=kk+1<1
eles não alcançam totalmente os zeros, mas se aproximam do eixo imaginário em
pm jraiz3approxpm j1,732, sem cruzar o eixo. O esboço é:
— Marcar polos ( times) em -1,5pm j0,866.
— Marcar zeros ( circ) em 1,5pm j0,866.
— Trajetórias curvas com setas saindo dos polos e avançando para a região de zeros, aproximando-se de pm j1,732.

Resposta

boxedk>-tfrac12

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