1^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int \sqrt{x}\left(1+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{x}\,\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo é a regra de potência para integrais: sempre que tivermos \int x^{n}dx, vale
\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
contanto que n\neq -1.

Passo 2

Primeiro reescrevemos \sqrt{x} como x^{1/2} e distribuímos:
\sqrt{x}\,\bigl(1+x^{2}\bigr) = x^{1/2} + x^{1/2}\cdot x^{2} = x^{1/2} + x^{5/2}.
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\int \sqrt{x}\,\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = \int x^{1/2}dx \;+\;\int x^{5/2}dx.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência em cada termo:
\int x^{1/2}dx = \frac{x^{1/2+1}}{\tfrac32} = \frac{x^{3/2}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{3/2},
\int x^{5/2}dx = \frac{x^{5/2+1}}{\tfrac72} = \frac{x^{7/2}}{\tfrac72} = \frac{2}{7}\,x^{7/2}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \sqrt{x}\,\bigl(1+x^{2}\bigr)\,dx = \frac{2}{3}\,x^{3/2} \;+\;\frac{2}{7}\,x^{7/2} + C.

Resposta

\frac{2}{3}\,x^{3/2} \;+\;\frac{2}{7}\,x^{7/2} + C.

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