1^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int x^{2}\left(x^{3}+5 x-2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a integral indefinida \displaystyle \int x^{2}(x^{3}+5x-2)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de polinômios, usando a regra \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Distribuímos x^{2} no parêntese para obter um polinômio simples:
x^{2}(x^{3}+5x-2) \;=\; x^{5} \;+\; 5x^{3} \;-\; 2x^{2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int\bigl(x^{5} + 5x^{3} - 2x^{2}\bigr)\,dx = \int x^{5}\,dx \;+\; 5\int x^{3}\,dx \;-\; 2\int x^{2}\,dx = \frac{x^{6}}{6} \;+\; 5\cdot\frac{x^{4}}{4} \;-\; 2\cdot\frac{x^{3}}{3} \;+\; C.

Resposta

\boxed{\frac{x^{6}}{6} \;+\; \frac{5x^{4}}{4} \;-\; \frac{2x^{3}}{3} + C.}

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