2^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int x^{2}\left(\frac{2}{x^{4}}-\frac{5}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{2}\Bigl(\tfrac{2}{x^{4}} - \tfrac{5}{x^{2}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de x e vamos usar a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
além de simplificar o integrando por propriedades de expoentes.

Passo 2

Simplificamos o integrando antes de integrar:
x^{2}\Bigl(\tfrac{2}{x^{4}} - \tfrac{5}{x^{2}}\Bigr) = 2\,x^{2-4} - 5\,x^{2-2} = 2\,x^{-2} - 5\,x^{0} = 2\,x^{-2} - 5.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int(2x^{-2} - 5)\,dx =2\int x^{-2}\,dx \;-\;5\int 1\,dx.
Pela regra da potência,
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1},
e
\int 1\,dx = x.
Portanto,
\int(2x^{-2}-5)\,dx =2\bigl(-x^{-1}\bigr) -5x + C =-2x^{-1} -5x + C.

Resposta

\int x^{2}\Bigl(\tfrac{2}{x^{4}} - \tfrac{5}{x^{2}}\Bigr)\,dx = -\frac{2}{x} \;-\;5x \;+\; C.

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