Calcule as integrais a seguir usando alguma substituição trigonométrica.
\int_{0}^{1} \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado quer calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é aprender a transformar uma integral com x^{2}+1 em uma integral em \theta via x=\tan\theta, e depois usar identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \tan\theta, \quad dx = \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Quando x=0 temos \theta=0, e quando x=1 temos \theta=\pi/4. No denominador aparece
x^{2}+1 = \tan^{2}\theta + 1 = \operatorname{sec}^{2}\theta,
então
(x^{2}+1)^{2} = \operatorname{sec}^{4}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}} = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta} = \int_{0}^{\pi/4} \cos^{2}\theta\,d\theta.
Para integrar \cos^{2}\theta, usamos a identidade
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2},
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\int_{0}^{\pi/4} \cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \left[\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_{0}^{\pi/4}.

Passo 4

Calculando em \theta=\pi/4 e em \theta=0:
\left.\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}\right|_{0}^{\pi/4} = \Bigl(\frac{\pi/4}{2} + \frac{\sin(\pi/2)}{4}\Bigr) - \Bigl(0 + 0\Bigr) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} = \frac{2+\pi}{8}.

Resposta

\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{2+\pi}{8}.

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