Determine o diâmetro de \mathbb{R} em relação às seguintes métricas:
d(x, y)=|x-y|, para quaisquer x, y \in \mathbb{R};

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro do espaço métrico \mathbb{R} equipado com a métrica usual
d(x,y)=|x-y|.
O conteúdo envolvido é a definição de diâmetro de um espaço métrico e o cálculo de supremum de distâncias.

Passo 2

Recordando a definição: para um espaço métrico (X,d), o diâmetro de X é
\operatorname{diam}(X)\;=\;\sup\{\,d(x,y)\mid x,y\in X\}.

Passo 3

No nosso caso X=\mathbb{R} e
d(x,y)=|x-y|.
Como \mathbb{R} é não limitado, para qualquer número grande M>0 podemos escolher x,y tais que |x-y|>M. Logo
\sup\{|x-y|\mid x,y\in\mathbb{R}\} = +\infty.

Resposta

O diâmetro de \mathbb{R} com a métrica d(x,y)=|x-y| é
\operatorname{diam}(\mathbb{R}) = +\infty.

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