) Determine os pontos críticos das funções abaixo, analisando o comportamento da função (crescente ou decrescente). Em seguida, faça o estudo da concavidade do gráfico das funções, e desenhe o gráfico do item e):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede, para cada função, que a gente:
. Encontre os pontos críticos resolvendo
(ou onde
não existe).
. Use o sinal de
para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
. Calcule
e use seu sinal para estudar a concavidade e localizar pontos de inflexão.
. Por fim, faça o esboço do gráfico do item (e).
Passo 2
(a)
Derivada:
Derivada:
Resolvendo
dá
.
– Para ,
(crescente).
– Para ,
(decrescente).
Segunda derivada:
– Para
– Para
Segunda derivada:
logo a função é sempre côncava para baixo (sem ponto de inflexão).
Passo 3
(b)
Derivada:
Derivada:
Pontos críticos em
e
.
– Cresce em e
.
– Decresce em .
Segunda derivada:
– Cresce em
– Decresce em
Segunda derivada:
zera em
.
– Para ,
(côncava para baixo).
– Para ,
(côncava para cima).
Há ponto de inflexão em .
– Para
– Para
Há ponto de inflexão em
Passo 4
(c)
Derivada:
Derivada:
Pontos críticos em
.
– Decresce em e
.
– Cresce em e
.
Segunda derivada:
– Decresce em
– Cresce em
Segunda derivada:
raízes em
.
– se
ou
(côncavo para cima).
– em
(côncavo para baixo).
Pontos de inflexão em .
–
–
Pontos de inflexão em
Passo 5
(d)
Derivada:
Derivada:
Ponto crítico em
.
– Cresce em , decresce em
.
Segunda derivada:
– Cresce em
Segunda derivada:
zera em
.
– Côncava para cima em .
– Côncava para baixo em .
Pontos de inflexão em .
– Côncava para cima em
– Côncava para baixo em
Pontos de inflexão em
Passo 6
(e)
Derivada:
Derivada:
Pontos críticos em
e
.
– Cresce em e
.
– Decresce em .
Segunda derivada:
– Cresce em
– Decresce em
Segunda derivada:
zera em
.
– Côncava para baixo em .
– Côncava para cima em .
Há ponto de inflexão em .
– Côncava para baixo em
– Côncava para cima em
Há ponto de inflexão em
Passo 7
(f)
Derivada:
Derivada:
Pontos críticos em
.
– Cresce em .
– Decresce em e
.
Segunda derivada:
– Cresce em
– Decresce em
Segunda derivada:
zera em
e
.
– Côncava para cima em .
– Côncava para baixo em .
Pontos de inflexão em e
.
– Côncava para cima em
– Côncava para baixo em
Pontos de inflexão em
Passo 8
Esboço do gráfico de
(item e):
- Comportamento nas raízes de
:
: ponto crítico com troca de crescente decrescente máximo local em
.
: troca decrescente crescente mínimo local em
. - Ponto de inflexão em
com
. - Limites:
, . - Concavidade: para
, côncava para baixo; para , côncava para cima.
Logo o gráfico sobe, atinge (,– ), desce passando pelo ponto de inflexão ( ,– ), atinge ( ,– ) e depois cresce indefinidamente.
Resposta
(a) Ponto crítico
; crescente em
, decrescente em
; sempre côncava para baixo.
(b) Pontos críticos ; cresce em
, decresce em
; côncava para baixo em
, para cima em
; inflexão em
.
(c) Pontos críticos ; decresce em
, cresce em
; côncava para cima em
, para baixo em
; inflexões em
.
(d) Ponto crítico ; crescente em
, decrescente em
; côncava para cima em
, para baixo em
; inflexões em
.
(e) Pontos críticos (máx local),
(mín local); cresce em
, decresce em
; côncava para baixo em
, para cima em
; inflexão em
.
Esboço: cresce até ( ,–
), desce até (
,–
) passando por inflexão em (
,–
), depois cresce.
(f) Pontos críticos ; cresce em
, decresce em
; côncava para cima em
, para baixo em
; inflexões em
.
(b) Pontos críticos
(c) Pontos críticos
(d) Ponto crítico
(e) Pontos críticos
Esboço: cresce até (
(f) Pontos críticos