2^{\circ} ) Determine os pontos críticos das funções abaixo, analisando o comportamento da função (crescente ou decrescente). Em seguida, faça o estudo da concavidade do gráfico das funções, e desenhe o gráfico do item e):
(a) f(x)=-x^{2}+2 x+1
(b) f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x
(c) f(x)=3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+8
(d) f(x)=\frac{x^{2}+3}{x^{2}+1}
(e) f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-6
(f) f(x)=\frac{4 x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede, para cada função, que a gente:
1. Encontre os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 (ou onde f' não existe).
2. Use o sinal de f'(x) para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
3. Calcule f''(x) e use seu sinal para estudar a concavidade e localizar pontos de inflexão.
4. Por fim, faça o esboço do gráfico do item (e).

Passo 2

(a) f(x)=-x^{2}+2x+1
Derivada:
f'(x) = -2x + 2.
Resolvendo f'(x)=0 x=1.
– Para x<1, f'(x)>0 (crescente).
– Para x>1, f'(x)<0 (decrescente).
Segunda derivada:
f''(x) = -2 < 0\quad\forall x,
logo a função é sempre côncava para baixo (sem ponto de inflexão).

Passo 3

(b) f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x
Derivada:
f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3).
Pontos críticos em x=1 e x=3.
– Cresce em (-\infty,1) e (3,\infty).
– Decresce em (1,3).
Segunda derivada:
f''(x)=6x-12,
zera em x=2.
– Para x<2, f''(x)<0 (côncava para baixo).
– Para x>2, f''(x)>0 (côncava para cima).
Há ponto de inflexão em x=2.

Passo 4

(c) f(x)=3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}+8
Derivada:
f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x-2)(x+1).
Pontos críticos em x=-1,\,0,\,2.
– Decresce em (-\infty,-1) e (0,2).
– Cresce em (-1,0) e (2,\infty).
Segunda derivada:
f''(x)=36x^2-24x-24=12\bigl(3x^2-2x-2\bigr),
raízes em x=\frac{1\pm\sqrt7}{3}.
\displaystyle f''(x)>0 se x<\tfrac{1-\sqrt7}{3} ou x>\tfrac{1+\sqrt7}{3} (côncavo para cima).
\displaystyle f''(x)<0 em \bigl(\tfrac{1-\sqrt7}{3},\tfrac{1+\sqrt7}{3}\bigr) (côncavo para baixo).
Pontos de inflexão em x=\tfrac{1\pm\sqrt7}{3}.

Passo 5

(d) f(x)=\frac{x^{2}+3}{x^{2}+1}
Derivada:
f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-(x^2+3)\,2x}{(x^2+1)^2} =\frac{-4x}{(x^2+1)^2}.
Ponto crítico em x=0.
– Cresce em (-\infty,0), decresce em (0,\infty).
Segunda derivada:
f''(x) =\frac{4\bigl(3x^2-1\bigr)}{(x^2+1)^3},
zera em x=\pm\frac{1}{\sqrt3}.
– Côncava para cima em \bigl(-\infty,-\tfrac1{\sqrt3}\bigr)\cup\bigl(\tfrac1{\sqrt3},\infty\bigr).
– Côncava para baixo em \bigl(-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}\bigr).
Pontos de inflexão em x=\pm\tfrac1{\sqrt3}.

Passo 6

(e) f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-6
Derivada:
f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2).
Pontos críticos em x=1 e x=2.
– Cresce em (-\infty,1) e (2,\infty).
– Decresce em (1,2).
Segunda derivada:
f''(x)=12x-18,
zera em x=1{,}5.
– Côncava para baixo em (-\infty,1{,}5).
– Côncava para cima em (1{,}5,\infty).
Há ponto de inflexão em x=1{,}5.

Passo 7

(f) f(x)=\frac{4x}{x^{2}+1}
Derivada:
f'(x)=\frac{4(1-x^2)}{(x^2+1)^2} =4\,\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.
Pontos críticos em x=\pm1.
– Cresce em (-1,1).
– Decresce em (-\infty,-1) e (1,\infty).
Segunda derivada:
f''(x) =\frac{8x(x^2-3)}{(x^2+1)^3},
zera em x=0 e x=\pm\sqrt3.
– Côncava para cima em \bigl(-\sqrt3,0\bigr)\cup\bigl(\sqrt3,\infty\bigr).
– Côncava para baixo em \bigl(-\infty,-\sqrt3\bigr)\cup\bigl(0,\sqrt3\bigr).
Pontos de inflexão em x=0 e x=\pm\sqrt3.

Passo 8

Esboço do gráfico de f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-6 (item e):
  • Comportamento nas raízes de f':
    \bullet x=1: ponto crítico com troca de crescente \todecrescente \Rightarrow máximo local em
    \bigl(1,f(1)\bigr)=(1,-1).
    \bullet x=2: troca decrescente \tocrescente \Rightarrow mínimo local em
    \bigl(2,f(2)\bigr)=(2,-2).
  • Ponto de inflexão em x=1{,}5 com
    f(1{,}5)=-1{,}5.
  • Limites: \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty.
  • Concavidade: para x<1{,}5, côncava para baixo; para x>1{,}5, côncava para cima.
    Logo o gráfico sobe, atinge ( 1,– 1), desce passando pelo ponto de inflexão ( 1,5,– 1,5), atinge ( 2,– 2) e depois cresce indefinidamente.

Resposta

(a) Ponto crítico x=1; crescente em (-\infty,1), decrescente em (1,\infty); sempre côncava para baixo.
(b) Pontos críticos x=1,3; cresce em (-\infty,1)\cup(3,\infty), decresce em (1,3); côncava para baixo em (-\infty,2), para cima em (2,\infty); inflexão em x=2.
(c) Pontos críticos x=-1,0,2; decresce em (-\infty,-1)\cup(0,2), cresce em (-1,0)\cup(2,\infty); côncava para cima em (-\infty,\tfrac{1-\sqrt7}{3})\cup(\tfrac{1+\sqrt7}{3},\infty), para baixo em (\tfrac{1-\sqrt7}{3},\tfrac{1+\sqrt7}{3}); inflexões em x=\tfrac{1\pm\sqrt7}{3}.
(d) Ponto crítico x=0; crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,\infty); côncava para cima em (-\infty,-\tfrac1{\sqrt3})\cup(\tfrac1{\sqrt3},\infty), para baixo em (-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}); inflexões em \pm\tfrac1{\sqrt3}.
(e) Pontos críticos x=1 (máx local), x=2 (mín local); cresce em (-\infty,1)\cup(2,\infty), decresce em (1,2); côncava para baixo em (-\infty,1{,}5), para cima em (1{,}5,\infty); inflexão em x=1{,}5.
Esboço: cresce até ( 1,– 1), desce até ( 2,– 2) passando por inflexão em ( 1,5,– 1,5), depois cresce.
(f) Pontos críticos x=\pm1; cresce em (-1,1), decresce em (-\infty,-1)\cup(1,\infty); côncava para cima em (-\sqrt3,0)\cup(\sqrt3,\infty), para baixo em (-\infty,-\sqrt3)\cup(0,\sqrt3); inflexões em x=0,\pm\sqrt3.

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