4^{\circ} ) Utilizando a linearização, prove que:
\sin (x) \approx x, \quad x \rightarrow 0

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a ideia de linearização (ou polinômio de Taylor de grau 1) de f(x)=\sin(x) em torno de a=0 e mostrar que, quando x\to0,
\sin(x)\approx x.
Para isso precisamos lembrar que, se f é diferenciável em a, então
f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+o(x-a)\quad\bigl(x\to a\bigr),
ou seja, o resto é pequeno em relação a (x-a).

Passo 2

Calculemos f(0) e f'(0):
f(0)=\sin(0)=0, \qquad f'(x)=\cos(x) \;\Longrightarrow\; f'(0)=\cos(0)=1.
Assim, a linearização de \sin(x) em a=0 é
L(x)=f(0)+f'(0)\,(x-0)=0+1\cdot x=x.

Passo 3

Pela definição de diferenciabilidade, existe uma função r(x) tal que
\sin(x)=L(x)+r(x) \quad\text{com}\quad \lim_{x\to0}\frac{r(x)}{x}=0.
Isso significa que r(x) é de ordem menor que x. Logo, dividindo por x,
\frac{\sin(x)}{x} =\frac{x+r(x)}{x} =1+\frac{r(x)}{x} \;\xrightarrow[x\to0]{}\;1,
o que mostra que o termo dominante de \sin(x) perto de zero é exatamente x.

Resposta

\displaystyle \sin(x)\approx x quando x\to0.

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