4^{\circ} ) Uma caixa tem uma base que é um quadrado de lado " w ". Só temos 10 \mathrm{~m}^{2} de material para fazer a caixa. Determine o volume máximo da caixa que pode ser construída com este material.

Passo 1

O enunciado diz que queremos construir uma caixa de base quadrada de lado w e altura h, usando apenas 10, m^{2} de material. Vamos assumir que a caixa é sem tampa, pois só mencionam a base e as paredes. O objetivo é maximizar o volume
V = w^2\,h
sujeito `a restri\c{c}~ao de 'area de material
w^2 + 4\,w\,h = 10.

Passo 2

Da restrição de área, isolamos h. Como
w^2 + 4w\,h = 10,
temos
4w\,h = 10 - w^2
e então
h = \frac{10 - w^2}{4\,w}.

Passo 3

Substituímos h em V para obter V como função de uma única variável w:
V(w) = w^2 \cdot \frac{10 - w^2}{4\,w} = \frac{10w - w^3}{4}.

Passo 4

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada V'(w) e igualamos a zero:
V'(w) = \frac{10 - 3w^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad 10 - 3w^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad w^2 = \frac{10}{3} \quad\Longrightarrow\quad w = \sqrt{\frac{10}{3}}.

Passo 5

Calculamos agora a altura h correspondente e o volume máximo.
Como w = \sqrt{\tfrac{10}{3}},
h = \frac{10 - w^2}{4w} = \frac{10 - \tfrac{10}{3}}{4\sqrt{\tfrac{10}{3}}} = \frac{\tfrac{20}{3}}{4\sqrt{\tfrac{10}{3}}} = \frac{\sqrt{30}}{6}.
O volume máximo é
V_{\max} = w^2\,h = \frac{10}{3}\,\cdot \frac{\sqrt{30}}{6} = \frac{5\sqrt{30}}{9}.

Resposta

O volume m’aximo `e
V_{\max} = \frac{5\sqrt{30}}{9}\text{ m}^3,
obtido quando
\displaystyle w = \sqrt{\frac{10}{3}},m e \displaystyle h = \frac{\sqrt{30}}{6},m.

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