2^{\circ} ) Escreva a equação da esfera que tem um diâmetro com extremidades nos pontos A(3,2,1) e B(2,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da esfera que tem um diâmetro com extremidades nos pontos A(3,2,1) e B(2,1,-1).
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas de A: (3,2,1).
  • Coordenadas de B: (2,1,-1).
  • Pedido: escrever a equação da esfera cujo diâmetro tem extremidades em A e B.

Passo 2

Primeiro passo para montar a equação da esfera: encontrar o centro da esfera.
Explicação da fórmula do centro (midpoint) em 3D: o centro C do segmento com extremidades (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) é obtido tirando a média coordenada a coordenada; ou seja,
C=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2},\dfrac{z_1+z_2}{2}\right).
Intuição: o centro fica exatamente no meio de cada coordenada — média aritmética — porque em cada direção (x, y, z) o ponto médio divide o segmento em duas partes iguais.

Passo 3

Aplicando a fórmula do centro aos pontos A(3,2,1) e B(2,1,-1):
C=\left(\dfrac{3+2}{2},\dfrac{2+1}{2},\dfrac{1+(-1)}{2}\right) =\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2},0\right).
Portanto o centro da esfera é C\!\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2},0\right).

Passo 4

Agora precisamos do raio. Relação entre diâmetro, distância e raio: o raio r é metade da distância entre A e B.
Fórmula da distância entre dois pontos em 3D: para (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2),
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Justificação rápida: aplica o Teorema de Pitágoras primeiro em duas direções e depois na terceira — resulta na soma dos quadrados das diferenças.

Passo 5

Calcular as diferenças coordenada a coordenada entre A e B:
x\text{-dif} = 3-2 = 1,\qquad y\text{-dif} = 2-1 = 1,\qquad z\text{-dif} = 1-(-1) = 2.
Somando os quadrados:
d^2 = 1^2 + 1^2 + 2^2 = 1+1+4 = 6.
Logo a distância é d=\sqrt{6}. Portanto o raio é
r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.
E o quadrado do raio, que aparece na equação da esfera, é
r^2=\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^2=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}.

Passo 6

Fórmula geral da equação de uma esfera com centro C(x_0,y_0,z_0) e raio r:
qualquer ponto (x,y,z) da esfera satisfaz
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2.
Aqui (x,y,z) são as coordenadas de um ponto arbitrário sobre a superfície da esfera; x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do centro e r é o raio.

Passo 7

Temos os valores prontos para substituir na fórmula:
  • Centro C com \;x_0=\dfrac{5}{2},\;y_0=\dfrac{3}{2},\;z_0=0.
  • Valor de r^2=\dfrac{3}{2}.
Substituindo esses valores na fórmula da esfera obtemos a equação procurada (a resposta final está abaixo).

Resposta

\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+z^{2}=\dfrac{3}{2}

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