) Escreva a equação da esfera que tem um diâmetro com extremidades nos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da esfera que tem um diâmetro com extremidades nos pontos
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Coordenadas de
: . - Coordenadas de
: . - Pedido: escrever a equação da esfera cujo diâmetro tem extremidades em
e .
Passo 2
Primeiro passo para montar a equação da esfera: encontrar o centro da esfera.
Explicação da fórmula do centro (midpoint) em 3D: o centro do segmento com extremidades
e
é obtido tirando a média coordenada a coordenada; ou seja,
Explicação da fórmula do centro (midpoint) em 3D: o centro
Intuição: o centro fica exatamente no meio de cada coordenada — média aritmética — porque em cada direção (x, y, z) o ponto médio divide o segmento em duas partes iguais.
Passo 3
Aplicando a fórmula do centro aos pontos
e
:
Portanto o centro da esfera é
.
Passo 4
Agora precisamos do raio. Relação entre diâmetro, distância e raio: o raio
é metade da distância entre
e
.
Fórmula da distância entre dois pontos em 3D: para e
,
Fórmula da distância entre dois pontos em 3D: para
Justificação rápida: aplica o Teorema de Pitágoras primeiro em duas direções e depois na terceira — resulta na soma dos quadrados das diferenças.
Passo 5
Calcular as diferenças coordenada a coordenada entre
e
:
Somando os quadrados:
Logo a distância é
. Portanto o raio é
E o quadrado do raio, que aparece na equação da esfera, é
Passo 6
Fórmula geral da equação de uma esfera com centro
e raio
:
qualquer ponto da esfera satisfaz
qualquer ponto
Aqui
são as coordenadas de um ponto arbitrário sobre a superfície da esfera;
são as coordenadas do centro e
é o raio.
Passo 7
Temos os valores prontos para substituir na fórmula:
- Centro
com . - Valor de
.
Substituindo esses valores na fórmula da esfera obtemos a equação procurada (a resposta final está abaixo).