Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{sinh} n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\operatorname{sinh} n}
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A série é a soma dos termos a_n=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} n} para n=1,2,3,\dots.
  • Cada termo a_n é positivo (porque \operatorname{sinh} n>0 para n>0).
    Não é pedido o valor da soma, apenas verificar convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é \operatorname{sinh} x e transformar a_n numa forma mais conveniente. A definição hiperbólica é
\operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Aplicando em x=n obtemos
\operatorname{sinh} n=\frac{e^{n}-e^{-n}}{2},
logo
a_n=\frac{1}{\operatorname{sinh} n}=\frac{2}{e^{n}-e^{-n}}.
Para n grande, o termo e^{-n} é muito pequeno, então intuitivamente \operatorname{sinh} n se comporta como \dfrac{e^{n}}{2} e, portanto, a_n se comporta como 2e^{-n}. Isso sugere comparar com a série geométrica de razão e^{-1}:
b_n=e^{-n}.
Vou usar um teste formal que aproveita essa ideia: o teste de comparação limite (limit comparison test).

Passo 3

Enunciado do teste de comparação limite (em palavras simples): se a_n>0 e b_n>0 para todo n e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntos (ou seja, têm o mesmo comportamento de convergência).
Aqui escolhemos a_n=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} n} e b_n=e^{-n}. Vamos calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/\operatorname{sinh} n}{e^{-n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{e^{n}}{\operatorname{sinh} n}.

Passo 4

Calculemos explicitamente a razão usando a expressão de \operatorname{sinh} n:
\frac{e^{n}}{\operatorname{sinh} n}=\frac{e^{n}}{\dfrac{e^{n}-e^{-n}}{2}}=\frac{2e^{n}}{e^{n}-e^{-n}}=\frac{2}{1-e^{-2n}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como e^{-2n}\to 0, temos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{1-e^{-2n}}=\frac{2}{1-0}=2.
Portanto L=2 é um número finito e positivo, ou seja, 0<L<\infty. Pelas hipóteses do teste de comparação limite, a série \sum a_n converge ou diverge juntamente com \sum b_n.

Passo 5

Agora analisamos \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n}. Essa é uma série geométrica com primeiro termo e^{-1} e razão r=e^{-1}, onde |r|=e^{-1}<1. Logo a série geométrica converge (e sua soma é \dfrac{e^{-1}}{1-e^{-1}}, mas o valor exato não é necessário aqui). Como \sum b_n converge e L é finito e positivo, concluímos por comparação limite que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\operatorname{sinh} n}
converge também.
Observação final amigável: os termos são positivos, então essa convergência é a convergência absoluta (não havia sinais alternados para preocupar). Boa! Você já arrumou essa série usando a ideia de comparar com a exponencial — um truque que aparece bastante nas provas.

Resposta

Convergente

Exercícios relacionados