Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A série é a soma dos termos
para . - Cada termo
é positivo (porque para ).
Não é pedido o valor da soma, apenas verificar convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
e transformar
numa forma mais conveniente. A definição hiperbólica é
Aplicando em
obtemos
logo
Para
grande, o termo
é muito pequeno, então intuitivamente
se comporta como
e, portanto,
se comporta como
. Isso sugere comparar com a série geométrica de razão
:
Vou usar um teste formal que aproveita essa ideia: o teste de comparação limite (limit comparison test).
Passo 3
Enunciado do teste de comparação limite (em palavras simples): se
e
para todo
e
existe e
, então
e
convergem ou divergem juntos (ou seja, têm o mesmo comportamento de convergência).
Aqui escolhemos
e
. Vamos calcular o limite
Passo 4
Calculemos explicitamente a razão usando a expressão de
:
Agora tomamos o limite quando
. Como
, temos
Portanto
é um número finito e positivo, ou seja,
. Pelas hipóteses do teste de comparação limite, a série
converge ou diverge juntamente com
.
Passo 5
Agora analisamos
. Essa é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
, onde
. Logo a série geométrica converge (e sua soma é
, mas o valor exato não é necessário aqui). Como
converge e
é finito e positivo, concluímos por comparação limite que
converge também.
Observação final amigável: os termos são positivos, então essa convergência é a convergência absoluta (não havia sinais alternados para preocupar). Boa! Você já arrumou essa série usando a ideia de comparar com a exponencial — um truque que aparece bastante nas provas.
Resposta
Convergente