Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{n+3}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(\frac{n+3}{n}\right)
é convergente ou divergente. As informações que temos são apenas os termos gerais da série: para cada n\ge 1 o termo é \ln\!\left(\dfrac{n+3}{n}\right). Não há outros dados numéricos ocultos — só essa expressão que depende de n.

Passo 2

Primeiro lembrete útil sobre logaritmos (aqui é aula rápida): para quaisquer números positivos a e b vale a identidade
\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b.
Isto é muito prático porque transforma um logaritmo de quociente em diferença de logaritmos. Vou aplicar essa identidade ao termo geral da série.

Passo 3

Reescrevendo cada termo usando a identidade do passo anterior:
\ln\!\left(\frac{n+3}{n}\right)=\ln(n+3)-\ln n.
Agora vamos considerar a soma parcial S_N (soma dos primeiros N termos). Definição:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\ln\!\left(\frac{n+3}{n}\right)=\sum_{n=1}^{N}\big(\ln(n+3)-\ln n\big).

Passo 4

Expando os primeiros termos para ver o padrão (isso ajuda a perceber o telescopamento):
\begin{aligned} n=1&:\\ \ln 4 - \ln 1,\\\ n=2&:\\ \ln 5 - \ln 2,\\\ n=3&:\\ \ln 6 - \ln 3,\\\ &\\ \\ \vdots\\\ n=N&:\\ \ln(N+3)-\ln N. \end{aligned}
Somando tudo, muitos termos se cancelam: \ln4,\ln5,\dots,\ln N aparecem tanto com sinal + quanto com sinal -. O que sobra são apenas os três últimos logaritmos positivos e os três primeiros negativos:
S_N=\big(\ln(N+1)+\ln(N+2)+\ln(N+3)\big)-\big(\ln1+\ln2+\ln3\big).
Como \ln1=0, isso simplifica para
\boxed{\,S_N=\ln\!\left(\frac{(N+1)(N+2)(N+3)}{6}\right)\,}.

Passo 5

Agora vamos estudar o limite de S_N quando N\to\infty. Observando a expressão,
S_N=\ln\!\left(\frac{(N+1)(N+2)(N+3)}{6}\right).
O produto (N+1)(N+2)(N+3) cresce como N^3 quando N cresce. Mais precisamente, para grandes N temos
S_N = \ln\!\left(\frac{N^3(1+O(1/N))}{6}\right)=3\ln N - \ln 6 + o(1).
Portanto
\lim_{N\to\infty} S_N = +\infty.
Isso significa que as somas parciais não tendem para um número finito, mas crescem sem limite.
Observação adicional (intuição alternativa): para n grande \ln\!\left(\dfrac{n+3}{n}\right)=\ln\!\big(1+\tfrac{3}{n}\big)\sim \tfrac{3}{n}. Como \sum \tfrac{1}{n} diverge (série harmônica), isso também sugere que a série diverge — aqui o telescopamento fornece a prova exata e forte (mostrando divergência para +\infty).

Resposta

Divergente (somas parciais tendem a +\infty).

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