Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. As informações que temos são apenas os termos gerais da série: para cada
o termo é
. Não há outros dados numéricos ocultos — só essa expressão que depende de
.
Passo 2
Primeiro lembrete útil sobre logaritmos (aqui é aula rápida): para quaisquer números positivos
e
vale a identidade
Isto é muito prático porque transforma um logaritmo de quociente em diferença de logaritmos. Vou aplicar essa identidade ao termo geral da série.
Passo 3
Reescrevendo cada termo usando a identidade do passo anterior:
Agora vamos considerar a soma parcial
(soma dos primeiros
termos). Definição:
Passo 4
Expando os primeiros termos para ver o padrão (isso ajuda a perceber o telescopamento):
Somando tudo, muitos termos se cancelam:
aparecem tanto com sinal
quanto com sinal
. O que sobra são apenas os três últimos logaritmos positivos e os três primeiros negativos:
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Agora vamos estudar o limite de
quando
. Observando a expressão,
O produto
cresce como
quando
cresce. Mais precisamente, para grandes
temos
Portanto
Isso significa que as somas parciais não tendem para um número finito, mas crescem sem limite.
Observação adicional (intuição alternativa): para
grande
. Como
diverge (série harmônica), isso também sugere que a série diverge — aqui o telescopamento fornece a prova exata e forte (mostrando divergência para
).
Resposta
Divergente (somas parciais tendem a
).