5^{\circ} ) Se um foguete Saturno V e uma espaçonave Apolo acoplada ao foguete tinham uma massa total de 2,3 \times 10^{5} kg , qual era a energia cinética quando atingiram uma velocidade de 18 \mathrm{~km} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa total: m = 2{,}3\times10^{5}\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade: v = 18\\ \mathrm{km/s}.
  • Pergunta:
    • Qual era a energia cinética quando atingiram essa velocidade?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rapidinha e prática).
  • Energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é dada pela fórmula
K = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2}.
  • O que cada símbolo significa:
    • K é a energia cinética em joules ( \mathrm{J}).
    • m é a massa em quilogramas ( \mathrm{kg}).
    • v é a velocidade em metros por segundo ( \mathrm{m/s}).
  • Por que essa fórmula? Intuição rápida: é a energia associada ao movimento; a derivação formal vem do trabalho necessário para acelerar a massa de 0 até v, que integra a força F=m\,a sobre a distância e dá \tfrac{1}{2}mv^{2}. Não precisa decorar a derivação na prova se já decorou a fórmula, mas é bom saber a ideia por trás.

Passo 3

Converter unidades para o SI (muito importante — sempre faça isso!).
  • A velocidade foi dada em \mathrm{km/s}. Converter para \mathrm{m/s}:
v = 18\\ \mathrm{km/s} = 18{,}000\\ \mathrm{m/s} = 1{,}8\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
  • A massa já está em \mathrm{kg}, então mantemos m = 2{,}3\times10^{5}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular v^{2} passo a passo.
  • Primeiro elevar v ao quadrado:
v^{2} = \bigl(1{,}8\times10^{4}\bigr)^{2} = (1{,}8)^{2}\times(10^{4})^{2}.
  • Calcule cada parte:
    • (1{,}8)^{2} = 3{,}24.
    • (10^{4})^{2} = 10^{8}.
  • Logo
v^{2} = 3{,}24\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 5

Substituir na fórmula e fazer as contas detalhadas.
  • Fórmula:
K = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2}.
  • Substituindo m e v^{2}:
K = \tfrac{1}{2}\times\bigl(2{,}3\times10^{5}\bigr)\times\bigl(3{,}24\times10^{8}\bigr).
  • Fazer a multiplicação em partes:
    • Primeiro \tfrac{1}{2}\times2{,}3\times10^{5} = 1{,}15\times10^{5}.
    • Depois 1{,}15\times10^{5}\times3{,}24\times10^{8} = (1{,}15\times3{,}24)\times10^{5+8}.
    • Calcular 1{,}15\times3{,}24:
      1{,}15\times3 = 3{,}45 e 1{,}15\times0{,}24 = 0{,}276. Somando: 3{,}45+0{,}276 = 3{,}726.
    • Potência de dez: 10^{5+8}=10^{13}.
  • Portanto
K = 3{,}726\times10^{13}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final (como escrever num gabarito).
  • Dados originais têm duas algarismos significativos (por exemplo 2{,}3 e 18), então é razoável dar a resposta com duas ou três algarismos significativos. Apresentando com três algarismos:
K \approx 3{,}73\times10^{13}\\ \mathrm{J}.
  • Em palavras: cerca de 3{,}7\times10^{13} joules — uma quantidade enorme de energia (isso mostra por que lançamentos espaciais envolvem tanta energia).

Resposta

3{,}73\times10^{13}\\ \mathrm{J}

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