3^{\circ} A partir da concentração de poluentes em águas subterrâneas (em partes por milhão - ppm) abaixo construa uma tabela de frequência e um histograma com 5 e 7 classes, demonstrando os cálculos de amplitude e intervalo de classe?
Concentração de poluentes (ppm): \begin{array}{llllllllllll}3.42 & 3.47 & 3.73 & 3.51 & 3.52 & 3.76 & 3.57 & 3.31 & 3.40 & 3.43 & 3.68 & 3.55\end{array} 3.56 3.52 3.42.

Passo 1

Temos n=15 medidas de concentração (ppm): \{3{,}42,\;3{,}47,\;3{,}73,\;3{,}51,\;3{,}52,\;3{,}76,\;3{,}57,\;3{,}31,\;3{,}40,\;3{,}43,\;3{,}68,\;3{,}55,\;3{,}56,\;3{,}52,\;3{,}42\}.
Queremos construir tabelas de frequência e histogramas para k=5 e k=7 classes.
Para isso precisamos:
  1. Ordenar os dados e achar x_{\min} e x_{\max}.
  2. Calcular o alcance R=x_{\max}-x_{\min}.
  3. Calcular a largura de classe h=R/k.
  4. Definir os intervalos de classe (fechados à esquerda e abertos à direita, exceto o último) e contar as frequências.

Passo 2

Ordenando, os dados vão de
x_{\min}=3{,}31,\quad x_{\max}=3{,}76.
O alcance é
R = x_{\max}-x_{\min} = 3{,}76 - 3{,}31 = 0{,}45.
Para k=5 classes a largura é
h_5 = \frac{R}{5} = \frac{0{,}45}{5} = 0{,}09.
Assim os limites de classe são (começando em 3{,}31):
[3{,}31,\;3{,}40),\; [3{,}40,\;3{,}49),\; [3{,}49,\;3{,}58),\; [3{,}58,\;3{,}67),\; [3{,}67,\;3{,}76].

Passo 3

Contando em cada intervalo para k=5:
Intervalo     | Frequência f_i | Frequência Relativa f_i/n
[3{,}31, 3{,}40)  | 1          | 1/15\approx0{,}0667
[3{,}40, 3{,}49)  | 5          | 5/15\approx0{,}3333
[3{,}49, 3{,}58)  | 6          | 6/15=0{,}4000
[3{,}58, 3{,}67)  | 0          | 0
[3{,}67, 3{,}76]  | 3          | 3/15=0{,}2000
O histograma de 5 classes teria, sobre o eixo x, esses cinco intervalos e, sobre o eixo y, barras de alturas iguais a 1,5,6,0,3, respectivamente.

Passo 4

Para k=7 classes a largura é
h_7 = \frac{R}{7} = \frac{0{,}45}{7}\approx0{,}0643\\ (\approx0{,}065).
Tomando h_7=0{,}065, os limites são
[3{,}31,\;3{,}375),\; [3{,}375,\;3{,}440),\; [3{,}440,\;3{,}505),\; [3{,}505,\;3{,}570),\; [3{,}570,\;3{,}635),\; [3{,}635,\;3{,}700),\; [3{,}700,\;3{,}765].
Contando em cada intervalo:
Intervalo     | f_i | f_i/n
[3{,}31, 3{,}375)  | 1 | 1/15\approx0{,}0667
[3{,}375, 3{,}440) | 4 | 4/15\approx0{,}2667
[3{,}440, 3{,}505) | 1 | 1/15\approx0{,}0667
[3{,}505, 3{,}570) | 5 | 5/15\approx0{,}3333
[3{,}570, 3{,}635) | 1 | 1/15\approx0{,}0667
[3{,}635, 3{,}700) | 1 | 1/15\approx0{,}0667
[3{,}700, 3{,}765] | 2 | 2/15\approx0{,}1333
O histograma de 7 classes usaria esses sete intervalos no eixo x e barras de alturas 1,4,1,5,1,1,2.

Resposta

Segue a tabela de frequências e a indicação dos histogramas:
Para 5 classes h=0{,}09:
Intervalo | f_i | f_i/n
[3{,}31, 3{,}40) | 1 | 0,0667
[3{,}40, 3{,}49) | 5 | 0,3333
[3{,}49, 3{,}58) | 6 | 0,4000
[3{,}58, 3{,}67) | 0 | 0,0000
[3{,}67, 3{,}76] | 3 | 0,2000
Para 7 classes h\approx0{,}065:
Intervalo | f_i | f_i/n
[3{,}31, 3{,}375) | 1 | 0,0667
[3{,}375, 3{,}440) | 4 | 0,2667
[3{,}440, 3{,}505) | 1 | 0,0667
[3{,}505, 3{,}570) | 5 | 0,3333
[3{,}570, 3{,}635) | 1 | 0,0667
[3{,}635, 3{,}700) | 1 | 0,0667
[3{,}700, 3{,}765] | 2 | 0,1333
Nos histogramas, cada barra tem base igual ao intervalo e altura igual à frequência f_i.

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