Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com \mathbb{E}\left[X^{2}\right], \mathbb{E}\left[Y^{2}\right]<\infty. Definimos a covariância entre X e Y por \operatorname{Cov}(X, Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])]. Mostre que
Se X e Y são independentes, então \operatorname{Cov}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se X e Y são independentes e têm momentos de segunda ordem finitos, então \operatorname{Cov}(X,Y)=0. Vamos usar a definição de covariância e a propriedade de fatoração da esperança para variáveis independentes.

Passo 2

Pela definição,
\operatorname{Cov}(X,Y) =\mathbb{E}\bigl[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])\bigr].
Desenvolvendo o produto dentro da esperança, temos
(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y]) =XY - X\,\mathbb{E}[Y] - \mathbb{E}[X]\,Y + \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y].
Aplicando a esperança e usando sua linearidade,
\operatorname{Cov}(X,Y) =\mathbb{E}[XY] -\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y] -\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y] +\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y],
o que simplifica para
\operatorname{Cov}(X,Y) =\mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y].

Passo 3

Como X e Y são independentes, vale a propriedade
\mathbb{E}[XY] =\mathbb{E}[X]\,\mathbb{E}[Y].
Substituindo em \operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y] obtemos
\operatorname{Cov}(X,Y)=0.

Resposta

\operatorname{Cov}(X,Y)=0.

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