Sejam
e
duas variáveis aleatórias com
. Definimos a covariância entre
e
por
. Mostre que
Se X e Y são independentes, então
Se X e Y são independentes, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são independentes e têm momentos de segunda ordem finitos, então
. Vamos usar a definição de covariância e a propriedade de fatoração da esperança para variáveis independentes.
Passo 2
Pela definição,
Desenvolvendo o produto dentro da esperança, temos
Aplicando a esperança e usando sua linearidade,
o que simplifica para
Passo 3
Como
e
são independentes, vale a propriedade
Substituindo em
obtemos