1^{\circ} questão - Cada fenda de um dispositivo convencional de dupla fenda é coberta por uma folha fina diferente de mesma espessura. Uma folha tem um índice de refração de 1,50 e a outra tem um índice de refração de 1,45 . Quando iluminado por luz de comprimento de onda \lambda_{0}=640 \mathrm{~nm}, resulta em um mínimo no ponto central da tela. (a) Qual é a espessura (mínima) das folhas? (b) Para qual outro comprimento de onda menor que \lambda_{0}, reaparece um máximo?

Passo 1

O enunciado descreve um arranjo de dupla fenda coberto por duas chapas finas de mesma espessura t, com índices de refração diferentes \,n_1=1,50 e \,n_2=1,45. Iluminando com luz de comprimento de onda no vácuo \lambda_0=640\\ \mathrm{nm}, obtemos um mínimo no ponto central da tela. O conteúdo é interferência por diferença de caminho óptico introduzida pelas chapas, e vamos usar as condições de interferência destrutiva e construtiva para achar (a) t e (b) outro comprimento de onda que produza um máximo.

Passo 2

Quando a luz atravessa cada chapa, a diferença de caminho óptico entre as duas fendas vale
\Delta = (n_1 - n_2)\,t.
No ponto central a diferença geométrica é zero, mas sobra essa diferença \Delta só por causa dos índices.

Passo 3

Para ter mínimo no centro a condição de interferência destrutiva é
\Delta = \bigl(m + \tfrac12\bigr)\,\lambda_0,
sendo m um inteiro. O menor valor de t aparece para m=0, logo
(n_1 - n_2)\,t = \frac{\lambda_0}{2} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\lambda_0}{2\,(n_1 - n_2)}.

Passo 4

Substituindo \lambda_0=640\\ \mathrm{nm} e n_1 - n_2=1,50-1,45=0,05,
t = \frac{640\\ \mathrm{nm}}{2\times0,05} = \frac{640}{0,1}\\ \mathrm{nm} = 6400\\ \mathrm{nm} = 6,4\times10^{-6}\,\mathrm{m}.

Passo 5

(b) Para reaparecer um máximo no centro é preciso interferência construtiva:
\Delta = m\,\lambda,
com m\ge1. Como já sabemos \Delta=(n_1-n_2)t=\lambda_0/2, temos
m\,\lambda = \frac{\lambda_0}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{\lambda_0}{2m}.
O maior comprimento de onda menor que \lambda_0 ocorre para m=1, daí
\lambda = \frac{\lambda_0}{2} = \frac{640\\ \mathrm{nm}}{2} = 320\\ \mathrm{nm}.

Resposta

(a) t = 6,4\times10^{-6}\,\mathrm{m}.
(b) \lambda = 320\\ \mathrm{nm}.

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