Considere um fio condutor maciço retilíneo infinito, de seção reta constante, circular e de raio a, que é percorrido por uma corrente estacionária, com seu eixo orientado ao longo da direção \mathcal{O} \mathcal{Z}. A densidade de corrente \vec{j} é dada por:
\vec{j}(s)=\alpha[1-(s / a)] \hat{z}, \quad s \leq a
onde s é a distância de um ponto do fio ao eixo e \alpha é uma constante positiva.
(a) Determine a dimensão da constante \alpha.
(b) Calcule a corrente total que atravessa este fio.
(c) Utilize argumentos de simetria e/ou de eletromagnetismo para determinar qual a direção e o sentido do campo magnético em todo espaço (vide exercício 6 ou 7 ).
(d) Obtenha vetor campo magnético produzido pelo fio em um ponto qualquer do espaço. Considere todas as regiões do espaço possíveis, isto é, s<a e s>a. Indique, para cada uma delas, a curva amperiana escolhida.
(e) Esboce um gráfico da intensidade do campo magnético como função de s / a, destacando todos os pontos relevantes. Compare com sua resposta do item 7(f).

Passo 1

O enunciado descreve um fio cilíndrico reto infinito de raio a percorrido por corrente estacionária, com densidade de corrente que varia radialmente segundo
\vec{j}(s)=\alpha\bigl[1-\tfrac{s}{a}\bigr]\hat z,\quad 0\le s\le a.
O que vamos usar: análise dimensional para \alpha, integração de \vec j sobre a secção para a corrente total, argumentos de simetria (campo azimutal \hat\varphi) e a Lei de Ampère
\oint\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0 I_{\rm enc}
para obter \vec B em s<a e s>a. Por fim, esboçaremos B versus s/a.

Passo 2

(a) Como \vec{j} tem dimensão de densidade de corrente (ampère por metro quadrado), o fator \alpha deve ter a mesma dimensão:
[\alpha]=\mathrm{A}/\mathrm{m}^2.
(b) A corrente total é
I=\int_{0}^{a}j(s)\,2\pi s\,ds =\int_{0}^{a}\alpha\Bigl(1-\tfrac{s}{a}\Bigr)2\pi s\,ds =2\pi\alpha\Bigl[\tfrac{s^2}{2}-\tfrac{s^3}{3a}\Bigr]_0^a =\tfrac{\pi\alpha a^2}{3}.

Passo 3

Por simetria cilíndrica e corrente ao longo de \hat z, o campo magnético é tangencial às circunferências concêntricas ( \hat\varphi). O sentido é dado pela regra da mão direita: se a corrente estiver em +z, \vec B circula no sentido anti-horário visto de cima.

Passo 4

Escolhemos curva amperiana circular de raio s no plano transversal.
  • Para s<a, a corrente envolvida é
I_{\rm enc}(s)=\int_{0}^{s}\alpha\Bigl(1-\tfrac{r}{a}\Bigr)2\pi r\,dr =2\pi\alpha\Bigl[\tfrac{r^2}{2}-\tfrac{r^3}{3a}\Bigr]_0^s =2\pi\alpha\Bigl(\tfrac{s^2}{2}-\tfrac{s^3}{3a}\Bigr).
Pela Lei de Ampère,
B(s)\,2\pi s=\mu_0 I_{\rm enc}(s) \;\Longrightarrow\; \boxed{\vec B(s<a)=\mu_0\alpha\Bigl(\tfrac{s}{2}-\tfrac{s^2}{3a}\Bigr)\hat\varphi.}
  • Para s>a, a corrente envolvida é I_{\rm enc}=I_{\rm total}=\pi\alpha a^2/3, logo
B(s)\,2\pi s=\mu_0\,\tfrac{\pi\alpha a^2}{3} \;\Longrightarrow\; \boxed{\vec B(s>a)=\frac{\mu_0\alpha a^2}{6s}\,\hat\varphi.}

Passo 5

Para desenhar B em função de s/a:
  • Em s=0, B=0.
  • B(s<a) cresce até seu máximo onde dB/ds=0, ou seja s=3a/4, e atinge
    \;B_{\max}=\tfrac{3\mu_0\alpha a}{16}.
  • Em s=a, B(a)=\mu_0\alpha a/6, conectando-se continuamente ao ramo externo.
  • Para s>a, B\sim1/s decai hiperbólicamente.
    Comparando com o caso de densidade uniforme (onde B\propto s até a), aqui B(s) tem um pico interno e depois decai antes de entrar no regime 1/s.

Resposta

(a) [\alpha]=\mathrm{A}/\mathrm{m}^2.
(b) I=\tfrac{\pi\alpha a^2}{3}.
(c) \vec B é azimutal, na direção \hat\varphi, sentido dado pela regra da mão direita em relação a +z.
(d)
\displaystyle\vec B(s<a)=\mu_0\alpha\Bigl(\tfrac{s}{2}-\tfrac{s^2}{3a}\Bigr)\hat\varphi,
curva amperiana: círculo de raio s.
\displaystyle\vec B(s>a)=\tfrac{\mu_0\alpha a^2}{6s}\,\hat\varphi,
curva amperiana: círculo de raio s.
(e) Gráfico: B(s<h) começa em zero, atinge máximo em s/a=3/4, vale \mu_0\alpha a/6 em s/a=1 e depois decai como 1/(s/a).

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