5^{\circ} Questão - (a) Para uma determinada grade de difração, os máximos de 1^{\mathrm{a}} e 2^{\mathrm{a}} ordem são separados por 30^{\circ} para o comprimento de onda de 403,5 \mathrm{~nm}. (a) Determine quantas linhas por milímetro ela possui. (b) Neste caso, qual deve ser o diâmetro do feixe que ilumina essa rede, tal que duas linhas separadas por \Delta \lambda=0,1 \mathrm{~nm} em torno deste comprimento possam ser resolvidas em 1^{\mathrm{a}} ordem.

Passo 1

O enunciado diz que numa grade de difração os máximos de 1^{\mathrm{a}} e 2^{\mathrm{a}} ordem estão separados por 30^\circ para o comprimento de onda \lambda=403{,}5\\ \mathrm{nm}.
(a) Queremos achar quantas linhas por milímetro a grade possui.
(b) Depois, pedem o diâmetro do feixe para resolver duas linhas separadas por \Delta\lambda=0{,}1\\ \mathrm{nm} em 1^{\mathrm{a}} ordem.
O conteúdo aqui é a equação da rede difratante e a resolução espectral de uma rede.

Passo 2

Usamos a equação da rede difratante para cada ordem m:
d \,\sin\theta_m = m\,\lambda
onde d é o espaçamento entre fendas. Para m=1 e m=2 temos
\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{d}, \quad \sin\theta_2 = \frac{2\lambda}{d}.
Como \theta_2 - \theta_1 = 30^\circ, escrevemos
\arcsin\!\bigl(\tfrac{2\lambda}{d}\bigr)\;-\;\arcsin\!\bigl(\tfrac{\lambda}{d}\bigr) =30^\circ.

Passo 3

Para resolver numericamente, definimos x=\lambda/d. A equação vira
\arcsin(2x)-\arcsin(x)=30^\circ.
Usando a fórmula de soma de arco-seno e algum ajuste algébrico, encontra-se
x\approx0{,}4034.
Então
d=\frac{\lambda}{x} =\frac{403{,}5\times10^{-9}\,\mathrm{m}}{0{,}4034} \approx1{,}00\times10^{-6}\,\mathrm{m}.

Passo 4

O número de linhas por metro é 1/d, logo
N_{\mathrm{m}}=\frac{1}{1{,}00\times10^{-6}\,\mathrm{m}} =1{,}0\times10^{6}\,\mathrm{linhas/m}.
Como 1 m =1000 mm, isso equivale a
N_{\mathrm{mm}}=\frac{1{,}0\times10^{6}}{1000} =1000\\ \mathrm{linhas/mm}.

Passo 5

Para a parte (b), a resolução teórica da grade é
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=m\,N_{\mathrm{illum}},
onde N_{\mathrm{illum}} é o número de fendas iluminadas e m=1. Então
N_{\mathrm{illum}}=\frac{\lambda}{\Delta\lambda} =\frac{403{,}5\\ \mathrm{nm}}{0{,}1\\ \mathrm{nm}} =4035\\ \text{fendas}.

Passo 6

O diâmetro do feixe D deve cobrir esse número de fendas, ou seja
D = N_{\mathrm{illum}}\,d =4035 \times 1{,}00\times10^{-6}\,\mathrm{m} \approx4{,}04\times10^{-3}\,\mathrm{m} =4{,}04\\ \mathrm{mm}.

Resposta

(a) 1000\\ \mathrm{linhas/mm}.
(b) D\approx4{,}0\\ \mathrm{mm}.

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