Questão ( 2,5 Pontos): A partir da taxa de calor liquida que se estabelece entre dois corpos ideais, cujo poder de Emissão é dado pelo produto entre a constante,
, e a
(quarta) potência da temperatura desse corpo, encontre a expressão para a taxa de calor por radiação que se estabelece entre dois corpos reais com as mesmas dimensões e temperaturas dos radiadores ideais citados. Considere que os dois radiadores (corpos) ideais possuem área (A), temperatura (T) e fator de forma (F) diferentes.
Passo 1
O enunciado pede: a partir da lei de emissão de um corpo ideal (potência emitida por unidade de área dada por
), encontrar a expressão para a taxa de calor por radiação entre dois corpos reais (não-ideais) que têm as mesmas áreas, temperaturas e fatores de forma dos radiadores ideais citados.
Dados relevantes que o enunciado fornece / que vamos precisar identificar:
Dados relevantes que o enunciado fornece / que vamos precisar identificar:
- Constante de Stefan–Boltzmann:
. - Dois corpos (índices
e ) com áreas, temperaturas e fator de forma, possivelmente diferentes; para ficar claro usaremos as notações: - Área da superfície 1:
. - Área da superfície 2:
. - Temperatura da superfície 1:
. - Temperatura da superfície 2:
. - Fator de forma (view factor) de
para : (valerá a reciprocidade quando necessário).
- Área da superfície 1:
- Para corpos reais devemos introduzir emissividades (ângulos é difuso e superfície cinzenta):
- Emissividade da superfície 1:
. - Emissividade da superfície 2:
.
- Emissividade da superfície 1:
O que se pede explicitamente: expressão para a taxa de calor por radiação (valor escalar
, taxa líquida de calor trocada entre as superfícies 1 e 2) considerando que as superfícies agora são reais (não-pretas), usando os mesmos
,
e
dos radiadores ideais.
Passo 2
Recordando a situação ideal (corpos pretos): um corpo negro emite por unidade de área a potência
. Para dois corpos pretos (blackbodies) com áreas
,
e fator de forma
, a taxa líquida de troca de radiação do corpo 1 para o corpo 2 é dada por a expressão clássica
Breve justificativa física: a energia emitida pela superfície 1 que incide sobre 2 é
por unidade de área vezes a área visível
; a energia recíproca é análoga; o fluxo líquido é a diferença entre essas potências.
Passo 3
Agora vamos tratar superfícies reais (difusas, cinzentas) com emissividades
e
. Conceitos chave (explicados de forma prática):
- Emissão de corpo negro:
. É a potência por unidade área que um corpo negro emite à temperatura . - Emissividade
(número entre e ): fração da emissão do corpo negro que a superfície realmente emite; para uma superfície cinzenta e difusa, absorptividade . - Radiosity
: potência total por unidade área que sai da superfície (emissão mais reflexão). - Irradiação
: potência por unidade área que chega (incide) sobre a superfície a partir do resto do ambiente.
Relação básica (radiosity para superfície difusa-cinzenta):
E o fluxo líquido que sai da superfície
para o ambiente é
. Em termos de potência total:
Passo 4
Para o sistema de duas superfícies que trocam apenas entre si (fechadas uma à outra), vale:
com a reciprocidade geométrica
A equação de balanço para a superfície 1, usando
, pode ser reescrita de forma muito útil isolando
:
a partir de obtemos
a partir de
Multiplicando por
dá a forma compacta
Análogo para a superfície 2 (com sinal oposto para a mesma troca):
Passo 5
Agora vamos transformar o problema em uma rede de “resistências radiativas” — isso é uma forma pedagógica e muito usada em transferência de calor porque deixa a conta bem física e simples de manipular.
Imagine a grande diferença
“causando” um fluxo
através de três resistências em série:
- Resistência superficial da 1 (devido à emissividade
): .
Raciocínio: superfícies pouco emissivas refletem parte da energia; isso aparece como uma resistência adicional para a troca real. - Resistência espacial (geométrica) entre as superfícies, que depende do fator de forma:
.
Raciocínio: mesmo que as superfícies fossem perfeitamente negras, apenas a fraçãoda emissão de 1 alcança 2. - Resistência superficial da 2:
.
Somando essas resistências obtemos a resistência total à troca radiativa entre os emissores reais:
Passo 6
A partir da analogia tensão-corrente (aqui “diferença de potência de corpo negro” como causa e fluxo
como corrente), a taxa líquida de calor é
Substituindo
e
obtemos a fórmula final (forma usuais encontradas em livros e que resulta da resolução completa do sistema de radiosidade):
Passo 7
Vamos checar casos limites para ganhar confiança:
- Se
(ambas pretas), os termos de resistência superficial desaparecem e que é exatamente a expressão dos corpos negros do Passo 2 — confere. - Se
e (duas faces opostas perfeitamente enquadradas), então o termo geométrico é e a expressão se ajusta corretamente ao caso de troca entre duas placas opostas com emissividades finitas.