1^{\circ} Questão ( 2,5 Pontos): A partir da taxa de calor liquida que se estabelece entre dois corpos ideais, cujo poder de Emissão é dado pelo produto entre a constante, \sigma, e a 4^{\circ} (quarta) potência da temperatura desse corpo, encontre a expressão para a taxa de calor por radiação que se estabelece entre dois corpos reais com as mesmas dimensões e temperaturas dos radiadores ideais citados. Considere que os dois radiadores (corpos) ideais possuem área (A), temperatura (T) e fator de forma (F) diferentes.

Passo 1

O enunciado pede: a partir da lei de emissão de um corpo ideal (potência emitida por unidade de área dada por \sigma T^{4}), encontrar a expressão para a taxa de calor por radiação entre dois corpos reais (não-ideais) que têm as mesmas áreas, temperaturas e fatores de forma dos radiadores ideais citados.
Dados relevantes que o enunciado fornece / que vamos precisar identificar:
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma.
  • Dois corpos (índices 1 e 2) com áreas, temperaturas e fator de forma, possivelmente diferentes; para ficar claro usaremos as notações:
    • Área da superfície 1: A_{1}.
    • Área da superfície 2: A_{2}.
    • Temperatura da superfície 1: T_{1}.
    • Temperatura da superfície 2: T_{2}.
    • Fator de forma (view factor) de 1 para 2: F_{12} (valerá a reciprocidade A_{1}F_{12}=A_{2}F_{21} quando necessário).
  • Para corpos reais devemos introduzir emissividades (ângulos é difuso e superfície cinzenta):
    • Emissividade da superfície 1: \epsilon_{1}.
    • Emissividade da superfície 2: \epsilon_{2}.
O que se pede explicitamente: expressão para a taxa de calor por radiação (valor escalar \dot{Q}, taxa líquida de calor trocada entre as superfícies 1 e 2) considerando que as superfícies agora são reais (não-pretas), usando os mesmos A_{i}, T_{i} e F_{12} dos radiadores ideais.

Passo 2

Recordando a situação ideal (corpos pretos): um corpo negro emite por unidade de área a potência E_{b}=\sigma T^{4}. Para dois corpos pretos (blackbodies) com áreas A_{1}, A_{2} e fator de forma F_{12}, a taxa líquida de troca de radiação do corpo 1 para o corpo 2 é dada por a expressão clássica
\dot{Q}_{\text{bb}} = \sigma A_{1} F_{12}\bigl(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\bigr).
Breve justificativa física: a energia emitida pela superfície 1 que incide sobre 2 é \sigma T_{1}^{4} por unidade de área vezes a área visível A_{1}F_{12}; a energia recíproca é análoga; o fluxo líquido é a diferença entre essas potências.

Passo 3

Agora vamos tratar superfícies reais (difusas, cinzentas) com emissividades \epsilon_{1} e \epsilon_{2}. Conceitos chave (explicados de forma prática):
  • Emissão de corpo negro: E_{b,i}=\sigma T_{i}^{4}. É a potência por unidade área que um corpo negro emite à temperatura T_{i}.
  • Emissividade \epsilon_{i} (número entre 0 e 1): fração da emissão do corpo negro que a superfície realmente emite; para uma superfície cinzenta e difusa, absorptividade \alpha_{i}=\epsilon_{i}.
  • Radiosity J_{i}: potência total por unidade área que sai da superfície (emissão mais reflexão).
  • Irradiação G_{i}: potência por unidade área que chega (incide) sobre a superfície a partir do resto do ambiente.
    Relação básica (radiosity para superfície difusa-cinzenta):
J_{i}=\epsilon_{i}E_{b,i}+(1-\epsilon_{i})G_{i}.
E o fluxo líquido que sai da superfície i para o ambiente é q_{i}=J_{i}-G_{i}. Em termos de potência total:
\dot{Q}_{i}=A_{i}(J_{i}-G_{i}).

Passo 4

Para o sistema de duas superfícies que trocam apenas entre si (fechadas uma à outra), vale:
G_{1}=F_{12}J_{2},\qquad G_{2}=F_{21}J_{1},
com a reciprocidade geométrica
A_{1}F_{12}=A_{2}F_{21}.
A equação de balanço para a superfície 1, usando \dot{Q}=A_{1}(J_{1}-G_{1}), pode ser reescrita de forma muito útil isolando G_{1}:
a partir de J_{1}=\epsilon_{1}E_{b,1}+(1-\epsilon_{1})G_{1} obtemos
J_{1}-G_{1}=\epsilon_{1}\bigl(E_{b,1}-G_{1}\bigr).
Multiplicando por A_{1} dá a forma compacta
\dot{Q} = \epsilon_{1}A_{1}\bigl(E_{b,1}-G_{1}\bigr).
Análogo para a superfície 2 (com sinal oposto para a mesma troca):
-\dot{Q} = \epsilon_{2}A_{2}\bigl(E_{b,2}-G_{2}\bigr).

Passo 5

Agora vamos transformar o problema em uma rede de “resistências radiativas” — isso é uma forma pedagógica e muito usada em transferência de calor porque deixa a conta bem física e simples de manipular.
Imagine a grande diferença E_{b,1}-E_{b,2} “causando” um fluxo \dot{Q} através de três resistências em série:
  • Resistência superficial da 1 (devido à emissividade \epsilon_{1}): R_{s1}=\dfrac{1-\epsilon_{1}}{\epsilon_{1}A_{1}}.
    Raciocínio: superfícies pouco emissivas refletem parte da energia; isso aparece como uma resistência adicional para a troca real.
  • Resistência espacial (geométrica) entre as superfícies, que depende do fator de forma: R_{sp}=\dfrac{1}{A_{1}F_{12}}.
    Raciocínio: mesmo que as superfícies fossem perfeitamente negras, apenas a fração A_{1}F_{12} da emissão de 1 alcança 2.
  • Resistência superficial da 2: R_{s2}=\dfrac{1-\epsilon_{2}}{\epsilon_{2}A_{2}}.
Somando essas resistências obtemos a resistência total à troca radiativa entre os emissores reais:
R_{\text{tot}}=R_{s1}+R_{sp}+R_{s2} =\frac{1-\epsilon_{1}}{\epsilon_{1}A_{1}}+\frac{1}{A_{1}F_{12}}+\frac{1-\epsilon_{2}}{\epsilon_{2}A_{2}}.

Passo 6

A partir da analogia tensão-corrente (aqui “diferença de potência de corpo negro” como causa e fluxo \dot{Q} como corrente), a taxa líquida de calor é
\dot{Q}=\frac{E_{b,1}-E_{b,2}}{R_{\text{tot}}}.
Substituindo E_{b,i}=\sigma T_{i}^{4} e R_{\text{tot}} obtemos a fórmula final (forma usuais encontradas em livros e que resulta da resolução completa do sistema de radiosidade):
\dot{Q}=\frac{\sigma\bigl(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\bigr)} {\dfrac{1-\epsilon_{1}}{\epsilon_{1}A_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}F_{12}}+\dfrac{1-\epsilon_{2}}{\epsilon_{2}A_{2}}}.

Passo 7

Vamos checar casos limites para ganhar confiança:
  • Se \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=1 (ambas pretas), os termos de resistência superficial desaparecem e \dot{Q}=\frac{\sigma(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{\dfrac{1}{A_{1}F_{12}}} =\sigma A_{1}F_{12}\bigl(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\bigr),que é exatamente a expressão dos corpos negros do Passo 2 — confere.
  • Se F_{12}=1 e A_{1}=A_{2} (duas faces opostas perfeitamente enquadradas), então o termo geométrico é 1/(A_{1}F_{12})=1/A_{1} e a expressão se ajusta corretamente ao caso de troca entre duas placas opostas com emissividades finitas.

Resposta

\dot{Q}=\frac{\sigma\bigl(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\bigr)} {\dfrac{1-\epsilon_{1}}{\epsilon_{1}A_{1}}+\dfrac{1}{A_{1}F_{12}}+\dfrac{1-\epsilon_{2}}{\epsilon_{2}A_{2}}}.

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