1- Um tubo capilar de
de diâmetro é inserido verticalmente em água exposta à atmosfera. Determine quão alto a água vai chegar dentro do tubo. Considere o ângulo de contato na parede interna do tubo como
e a tensão superficial como
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
- Dados fornecidos:
- Diâmetro do tubo:
. - Ângulo de contato:
. - Tensão superficial:
. - A água está exposta à atmosfera (pressão externa normal).
- Diâmetro do tubo:
- O que o enunciado pede:
- Determinar a altura
que a água sobe dentro do tubo capilar (ou seja, o acréscimo de nível dentro do tubo em relação ao nível externo).
- Determinar a altura
- Observações imediatas (números que teremos que usar/converter):
- Precisaremos do raio do tubo
, que vem do diâmetro. - Precisaremos da massa específica da água
e da aceleração da gravidade ; usaremos os valores comuns padrão para água e gravidade.
- Precisaremos do raio do tubo
Passo 2
Conceitos e equações úteis (explicação didática antes de aplicar).
- Ideia física fácil: a subida capilar ocorre porque a força de tensão superficial, dirigida ao longo da linha de contato entre líquido e parede, tem uma componente vertical que puxa o líquido para cima; isso equilibra o peso da coluna de líquido que sobe.
- Forças envolvidas (em termos simples):
- Força de subida por tensão superficial (projeção vertical):
. - Aqui
é o raio interno do tubo, é a tensão superficial e é o ângulo de contato. - Explicação: ao longo de toda a circunferência
existe a força de intensidade tangencial; a componente vertical dessa força é por unidade comprimento, daí multiplicar por .
- Aqui
- Peso da coluna de líquido de altura
: massa . - Aqui
é a densidade (massa específica) do líquido e é a aceleração da gravidade.
- Aqui
- Força de subida por tensão superficial (projeção vertical):
- Equilíbrio (condição de equilíbrio estático): a força de subida é igual ao peso da coluna:
- Isolando
obtemos a fórmula clássica da altura capilar: - Nesta fórmula:
-
tem unidades de metros; -
tem unidades de ; -
tem unidades de ; -
tem unidades de ; -
tem unidades de metros.
Tudo é consistente pois.
-
Passo 3
Preparar os números e converter unidades conforme necessário.
- Converter o diâmetro para raio em metros: o enunciado deu
. - Valores padrão que usaremos:
- Ângulo de contato:
Calcular . Usando cálculo trigonométrico:
Passo 4
Substituir na fórmula e organizar a conta.
- Fórmula:
- Substituindo
, , , e :
Passo 5
Fazer a aritmética passo a passo (sem pular etapas).
- Calcular o numerador:
- Calcular o denominador:
Primeiro .
Então. - Agora dividir:
Passo 6
Interpretar o resultado e dar em unidades práticas.
- Em metros:
. - Em centímetros:
. - Arredondando de forma razoável considerando dados (tensão superficial dada com três dígitos significativos, ângulo com dois dígitos): podemos apresentar
Passo 7
Comentários, suposições e incentivo (rápido e prático).
- Suposições feitas: tubo perfeitamente vertical, líquido puro (propriedades constantes), sem evaporação significativa, e o tubo fino o suficiente para que a fórmula seja aplicável (aplicável para capilaridade simples).
- Se o ângulo de contato fosse maior (mais próximo de
), a subida cai porque diminui; se ocorrerá depressão (queda) em vez de subida. - Mandou bem procurando resolver por etapas — essa derivação por equilíbrio de forças é a forma mais direta e rápida na prova.