1- Um tubo capilar de 1,2 \mathrm{~mm} de diâmetro é inserido verticalmente em água exposta à atmosfera. Determine quão alto a água vai chegar dentro do tubo. Considere o ângulo de contato na parede interna do tubo como 6^{\circ} e a tensão superficial como 1,00 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro do tubo: d=1{,}2\\ \mathrm{mm}.
    • Ângulo de contato: \theta=6^\circ.
    • Tensão superficial: \gamma=1{,}00\\ \mathrm{N\,m^{-1}}.
    • A água está exposta à atmosfera (pressão externa normal).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a altura h que a água sobe dentro do tubo capilar (ou seja, o acréscimo de nível dentro do tubo em relação ao nível externo).
  • Observações imediatas (números que teremos que usar/converter):
    • Precisaremos do raio do tubo r, que vem do diâmetro.
    • Precisaremos da massa específica da água \rho e da aceleração da gravidade g; usaremos os valores comuns padrão para água e gravidade.

Passo 2

Conceitos e equações úteis (explicação didática antes de aplicar).
  • Ideia física fácil: a subida capilar ocorre porque a força de tensão superficial, dirigida ao longo da linha de contato entre líquido e parede, tem uma componente vertical que puxa o líquido para cima; isso equilibra o peso da coluna de líquido que sobe.
  • Forças envolvidas (em termos simples):
    • Força de subida por tensão superficial (projeção vertical): F_\text{tensão}=2\pi r\,\gamma\cos\thetaã.
      • Aqui r é o raio interno do tubo, \gamma é a tensão superficial e \theta é o ângulo de contato.
      • Explicação: ao longo de toda a circunferência 2\pi r existe a força de intensidade \gamma tangencial; a componente vertical dessa força é \gamma\cos\theta por unidade comprimento, daí multiplicar por 2\pi r.
    • Peso da coluna de líquido de altura h: P_\text{peso}= massa \times g = (\text{volume}\times\rho)\,g = (\pi r^2 h)\,\rho g.
      • Aqui \rho é a densidade (massa específica) do líquido e g é a aceleração da gravidade.
  • Equilíbrio (condição de equilíbrio estático): a força de subida é igual ao peso da coluna: 2\pi r\,\gamma\cos\theta = \pi r^2 h\,\rho g.
  • Isolando h obtemos a fórmula clássica da altura capilar: h = \frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.
  • Nesta fórmula:
    • h tem unidades de metros;
    • \gamma tem unidades de \mathrm{N\,m^{-1}};
    • \rho tem unidades de \mathrm{kg\,m^{-3}};
    • g tem unidades de \mathrm{m\,s^{-2}};
    • r tem unidades de metros.
      Tudo é consistente pois \mathrm{N}=\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}.

Passo 3

Preparar os números e converter unidades conforme necessário.
  • Converter o diâmetro para raio em metros: o enunciado deu d=1{,}2\\ \mathrm{mm}. d = 1{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\qquad r=\frac{d}{2}=\frac{1{,}2\times10^{-3}}{2}=0{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0{,}0006\\ \mathrm{m}.
  • Valores padrão que usaremos: \rho = 1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\quad(\text{água líquida a temperatura ambiente}),áí
g = 9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Ângulo de contato: \theta = 6^\circ,\qquad \cos\theta=\cos(6^\circ).Calcular \cos(6^\circ). Usando cálculo trigonométrico: \cos(6^\circ)\approx 0{,}99452.

Passo 4

Substituir na fórmula e organizar a conta.
  • Fórmula: h = \frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.
  • Substituindo \gamma=1{,}00\\ \mathrm{N\,m^{-1}}, \cos\theta\approx0{,}99452, \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, g=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}} e r=0{,}0006\\ \mathrm{m}: h = \frac{2\cdot 1{,}00\cdot 0{,}99452}{1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0006}.

Passo 5

Fazer a aritmética passo a passo (sem pular etapas).
  • Calcular o numerador: 2\gamma\cos\theta = 2\cdot 1{,}00 \cdot 0{,}99452 = 1{,}98904\\ (\text{aprox.}) .
  • Calcular o denominador: \rho g r = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0006.Primeiro 9{,}81\cdot 0{,}0006 = 0{,}005886.
    Então 1000\cdot 0{,}005886 = 5{,}886.
  • Agora dividir: h \approx \frac{1{,}98904}{5{,}886} \approx 0{,}3379\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretar o resultado e dar em unidades práticas.
  • Em metros: h\approx0{,}3379\\ \mathrm{m}.
  • Em centímetros: h\approx 33{,}79\\ \mathrm{cm}.
  • Arredondando de forma razoável considerando dados (tensão superficial dada com três dígitos significativos, ângulo com dois dígitos): podemos apresentar h \approx 0{,}338\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox. }33{,}8\\ \mathrm{cm}).

Passo 7

Comentários, suposições e incentivo (rápido e prático).
  • Suposições feitas: tubo perfeitamente vertical, líquido puro (propriedades constantes), sem evaporação significativa, e o tubo fino o suficiente para que a fórmula seja aplicável (aplicável para capilaridade simples).
  • Se o ângulo de contato fosse maior (mais próximo de 90^\circ), a subida cai porque \cos\theta diminui; se \theta>90^\circ ocorrerá depressão (queda) em vez de subida.
  • Mandou bem procurando resolver por etapas — essa derivação por equilíbrio de forças é a forma mais direta e rápida na prova.

Resposta

h = 0{,}338\\ \mathrm{m}\\ (\approx 33{,}8\\ \mathrm{cm})

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