2- Um tubo capilar é imerso verticalmente num recipiente de água. Sabendo que a água começa a evaporar quando a pressão cai abaixo de 2 kPa , determine a máxima ascensão capilar e o máximo diâmetro para esse caso. Considere um ângulo de contato de
e uma tensão superficial de
. (Patm
)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a máxima ascensão capilar (
) de água num tubo capilar imerso verticalmente, considerando que a água começa a evaporar se a pressão cair abaixo de . - Determinar o maior diâmetro do tubo (
) que ainda permite essa ascensão sem fazê-la evaporar.
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
-
. - Limite de pressão para evaporar:
. - Ângulo de contato:
. - Tensão superficial:
.
Valores físicos que vamos usar (valores padrão):
- Densidade da água:
. - Aceleração da gravidade:
.
O objetivo é obter
e
num formato numérico com unidades.
Passo 2
Explicação física e fórmulas fundamentais (aula rápida, passo a passo):
- Por que a água sobe no capilar?
- A curva do menisco gera uma diferença de pressão entre o gás (acima do menisco) e o líquido logo abaixo do menisco. Essa diferença é dada pela equação de Laplace para uma superfície aproximadamente esférica:
onde
é a tensão superficial e
é o raio de curvatura do menisco (positivo quando a superfície é convexa para o gás). Aqui, para líquido molhante (ângulo pequeno), o menisco é côncavo do lado do gás, o que faz
.
- Relação entre
e o raio do tubo :
- Geometricamente, para um tubo cilíndrico e um menisco esférico com ângulo de contato
,
Isso vem da relação entre a geometria do círculo do menisco e o raio do tubo. Portanto a queda de pressão pode ser escrita como
- Equilíbrio hidrostático:
- A diferença de pressão entre a superfície livre do reservatório (onde a pressão no líquido é
) e logo abaixo do menisco interno é , onde é a altura que a água subiu no tubo:
- Unindo as duas relações:
- Substituindo
(o gás acima do menisco está à pressão atmosférica) na equação de Laplace e usando a hidroestática:
- Daí surge a fórmula clássica da ascensão capilar:
Passo 3
Como entra a condição de evaporação?
- A água começa a evaporar quando a pressão no líquido logo abaixo do menisco fica menor que
. Para evitar evaporação, precisamos ter
- O caso limite (máxima ascensão antes de começar a evaporar) ocorre quando
. Usando a expressão da Laplace com ,
- Desse modo obtemos o maior raio do tubo
que ainda permite não atingir a pressão de evaporação:
-
A partir de
podemos obter o diâmetro máximo . -
Para a altura máxima
, podemos usar a equação hidroestática diretamente no caso limite:
(Observação: essa expressão é equivalente a substituir
na fórmula
.)
Passo 4
Cálculo numérico (substituindo os valores, mostrando as contas para fazer na prova sem calculadora, passo a passo):
- Converter pressões para SI:
- Calcular
:
Primeiro a diferença:
Agora dividir:
(Arredondamento razoável:
.)
- Calcular
e :
Calcule
. Usando aproximação:
Então o numerador:
Dividindo:
Portanto o diâmetro máximo é
Passo 5
Interpretação curta e motivacional:
- Resultado interessante: a altura máxima é da ordem de
. Isso é grande — significa que, teoricamente, capilares muito finos poderiam sustentar colunas de água altas, mas antes que isso ocorra o líquido poderia entrar em ebulição ou evaporar se a pressão cair demais. O diâmetro máximo encontrado ( ) é pequeno — tubos maiores não levariam o líquido a uma pressão tão baixa; tubos menores causariam maior curvatura e poderiam baixar a pressão além do limite de evaporação.