2- Um tubo capilar é imerso verticalmente num recipiente de água. Sabendo que a água começa a evaporar quando a pressão cai abaixo de 2 kPa , determine a máxima ascensão capilar e o máximo diâmetro para esse caso. Considere um ângulo de contato de 6^{\circ} e uma tensão superficial de 1,00 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. (Patm =101,3 \mathrm{kPa} )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a máxima ascensão capilar ( h_{\text{máx}}á) de água num tubo capilar imerso verticalmente, considerando que a água começa a evaporar se a pressão cair abaixo de 2\\ \text{kPa}.
  • Determinar o maior diâmetro do tubo ( d_{\text{máx}}á) que ainda permite essa ascensão sem fazê-la evaporar.
Informações dadas (pego diretamente do enunciado):
  • P_{\text{atm}} = 101{,}3\\ \text{kPa}.
  • Limite de pressão para evaporar: P_{\text{evap}} = 2\\ \text{kPa}.
  • Ângulo de contato: \theta = 6^\circ.
  • Tensão superficial: \gamma = 1{,}00\\ \text{N/m}.
Valores físicos que vamos usar (valores padrão):
  • Densidade da água: \rho = 1000\\ \text{kg/m}^3.
  • Aceleração da gravidade: g = 9{,}81\\ \text{m/s}^2.
O objetivo é obter h_{\text{máx}}á e d_{\text{máx}}á num formato numérico com unidades.

Passo 2

Explicação física e fórmulas fundamentais (aula rápida, passo a passo):
  1. Por que a água sobe no capilar?
  • A curva do menisco gera uma diferença de pressão entre o gás (acima do menisco) e o líquido logo abaixo do menisco. Essa diferença é dada pela equação de Laplace para uma superfície aproximadamente esférica:
p_{\text{gas}}-p_{\text{líq}}=\frac{2\gamma}{R_m},í
onde \gamma é a tensão superficial e R_m é o raio de curvatura do menisco (positivo quando a superfície é convexa para o gás). Aqui, para líquido molhante (ângulo pequeno), o menisco é côncavo do lado do gás, o que faz p_{\text{líq}}<p_{\text{gas}}í.
  1. Relação entre R_m e o raio do tubo r:
  • Geometricamente, para um tubo cilíndrico e um menisco esférico com ângulo de contato \theta,
R_m=\frac{r}{\cos\theta}.
Isso vem da relação entre a geometria do círculo do menisco e o raio do tubo. Portanto a queda de pressão pode ser escrita como
p_{\text{gas}}-p_{\text{líq}}=\frac{2\gamma\cos\theta}{r}.í
  1. Equilíbrio hidrostático:
  • A diferença de pressão entre a superfície livre do reservatório (onde a pressão no líquido é P_{\text{atm}}) e logo abaixo do menisco interno é \rho g h, onde h é a altura que a água subiu no tubo:
P_{\text{atm}}-p_{\text{líq}}=\rho g h.í
  1. Unindo as duas relações:
  • Substituindo p_{\text{gas}}=P_{\text{atm}} (o gás acima do menisco está à pressão atmosférica) na equação de Laplace e usando a hidroestática:
P_{\text{atm}}-p_{\text{líq}}=\frac{2\gamma\cos\theta}{r}=\rho g h.í
  • Daí surge a fórmula clássica da ascensão capilar:
h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.

Passo 3

Como entra a condição de evaporação?
  • A água começa a evaporar quando a pressão no líquido logo abaixo do menisco fica menor que P_{\text{evap}}=2\\ \text{kPa}. Para evitar evaporação, precisamos ter
p_{\text{líq}}\ge P_{\text{evap}}.í
  • O caso limite (máxima ascensão antes de começar a evaporar) ocorre quando p_{\text{líq}}=P_{\text{evap}}í. Usando a expressão da Laplace com p_{\text{gas}}=P_{\text{atm}},
P_{\text{atm}}- \frac{2\gamma\cos\theta}{r} = P_{\text{evap}}.
  • Desse modo obtemos o maior raio do tubo r_{\text{máx}}á que ainda permite não atingir a pressão de evaporação:
\frac{2\gamma\cos\theta}{r_{\text{máx}}}=P_{\text{atm}}-P_{\text{evap}} \quad\Rightarrow\quad r_{\text{máx}}=\frac{2\gamma\cos\theta}{P_{\text{atm}}-P_{\text{evap}}}.áá
  • A partir de r_{\text{máx}}á podemos obter o diâmetro máximo d_{\text{máx}}=2r_{\text{máx}}áá.
  • Para a altura máxima h_{\text{máx}}á, podemos usar a equação hidroestática diretamente no caso limite:
h_{\text{máx}}=\frac{P_{\text{atm}}-P_{\text{evap}}}{\rho g}.á
(Observação: essa expressão é equivalente a substituir r_{\text{máx}}á na fórmula h=2\gamma\cos\theta/(\rho g r).)

Passo 4

Cálculo numérico (substituindo os valores, mostrando as contas para fazer na prova sem calculadora, passo a passo):
  1. Converter pressões para SI:
P_{\text{atm}}=101{,}3\\ \text{kPa}=101300\\ \text{Pa}, \qquad P_{\text{evap}}=2\\ \text{kPa}=2000\\ \text{Pa}.
  1. Calcular h_{\text{máx}}á:
h_{\text{máx}}=\frac{P_{\text{atm}}-P_{\text{evap}}}{\rho g} =\frac{101300-2000}{1000\cdot 9{,}81}\\ \text{m}.á
Primeiro a diferença:
101300-2000=99300\\ \text{Pa}.
Agora dividir:
h_{\text{máx}}=\frac{99300}{9810}\\ \text{m}\approx 10{,}12\\ \text{m}.á
(Arredondamento razoável: h_{\text{máx}}\approx 10{,}12\\ \text{m}á.)
  1. Calcular r_{\text{máx}}á e d_{\text{máx}}á:
r_{\text{máx}}=\frac{2\gamma\cos\theta}{P_{\text{atm}}-P_{\text{evap}}} =\frac{2\cdot 1{,}00\cdot\cos 6^\circ}{99300}\\ \text{m}.á
Calcule \cos 6^\circ. Usando aproximação:
\cos 6^\circ \approx 0{,}99452.
Então o numerador:
2\cdot 1{,}00\cdot 0{,}99452 \approx 1{,}98904.
Dividindo:
r_{\text{máx}} \approx \frac{1{,}98904}{99300}\\ \text{m}\approx 2{,}00\times 10^{-5}\\ \text{m}.á
Portanto o diâmetro máximo é
d_{\text{máx}}=2r_{\text{máx}}\approx 4{,}00\times 10^{-5}\\ \text{m}=40{,}0\\ \mu\text{m}.áá

Passo 5

Interpretação curta e motivacional:
  • Resultado interessante: a altura máxima é da ordem de 10\\ \text{m}. Isso é grande — significa que, teoricamente, capilares muito finos poderiam sustentar colunas de água altas, mas antes que isso ocorra o líquido poderia entrar em ebulição ou evaporar se a pressão cair demais. O diâmetro máximo encontrado ( \approx 40\\ \mu\text{m}) é pequeno — tubos maiores não levariam o líquido a uma pressão tão baixa; tubos menores causariam maior curvatura e poderiam baixar a pressão além do limite de evaporação.

Resposta

h_{\text{máx}} \approx 10{,}12\\ \text{m}á
d_{\text{máx}} \approx 4{,}00\times10^{-5}\\ \text{m} \; (=40{,}0\\ \mu\text{m})á

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