O enunciado pede para provar que, sempre que uma sequência converge para , a sequência formada pelos valores absolutos converge para . O conteúdo aqui é definição de convergência de sequência e uma propriedade fundamental do valor absoluto.
Passo 2
Lembrando a definição de convergência de sequência:
Passo 3
Usamos a desigualdade triangular na forma
válida para quaisquer x,yinR. Em particular, trocando x por an e y por a, temos
l|,|an|-|a|,r|<= |an-a|
Passo 4
Seja varepsilon>0. Como anto a, existe N tal que para todo n>= N vale
|an-a|<varepsilon
Pelo passo anterior segue então
l|,|an|-|a|,r|<= |an-a|<varepsilon,
ou seja, para todo n>= N temos l|,|an|-|a|,r|<varepsilon.
Passo 5
Isso mostra que, segundo a definição de convergência,