3^circ ) Questão.
Prove que se an a, então |an| |a|.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, sempre que uma sequência an converge para a, a sequência formada pelos valores absolutos lvert anrvert converge para lvert arvert. O conteúdo aqui é definição de convergência de sequência e uma propriedade fundamental do valor absoluto.

Passo 2

Lembrando a definição de convergência de sequência:
anto a Long<=ftrightarrow forall varepsilon>0,;exists NinN;tal que;forall n>= N:; |an-a|<varepsilon

Passo 3

Usamos a desigualdade triangular na forma
l|,|x|-|y|,r|<= |x-y|
válida para quaisquer x,yinR. Em particular, trocando x por an e y por a, temos
l|,|an|-|a|,r|<= |an-a|

Passo 4

Seja varepsilon>0. Como anto a, existe N tal que para todo n>= N vale
|an-a|<varepsilon
Pelo passo anterior segue então
l|,|an|-|a|,r|<= |an-a|<varepsilon,
ou seja, para todo n>= N temos l|,|an|-|a|,r|<varepsilon.

Passo 5

Isso mostra que, segundo a definição de convergência,
lvert anrvertto lvert arvert

Resposta

Foi demonstrado que limntoinfty|an|=|a|.

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