Questão.
Verifique se a série abaixo converge ou diverge.
sumn=1^infty (-1)^n(2 n-1) 2^2 n-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty (-1)^n(2n-1),2^2n-1
converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar é o critério de Leibniz para séries alternantes e o teste de convergência absoluta.

Passo 2

Definimos os termos positivos
bn = 1(2n-1),2^2n-1.
Primeiro mostramos que bn é decrescente para n>=1.
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
bn+1bn = 1(2(n+1)-1)2^2(n+1)-1 1(2n-1)2^2n-1 = 2n-12n+1,12^2 = 2n-14(2n+1)
Como tfrac2n-14(2n+1)<1 para todo n>=1, segue que bn+1<bn. Além disso,
limntoinftybn = limntoinfty1(2n-1)2^2n-1=0.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, uma série da forma
sumn=1^infty(-1)^nbn
converge se bn é decrescente e tende a zero. Portanto, a série original converge (pelo critério de séries alternantes).

Passo 4

Agora testamos a convergência absoluta, isto é, analisamos
sumn=1^inftyl|anr| = sumn=1^inftybn = sumn=1^infty1(2n-1)2^2n-1
Notamos que
1(2n-1)2^2n-1 < 12^2n-1
e a série geométrica
sumn=1^infty12^2n-1 = 12sumk=0^inftyl(14r)^k = 1/21-1/4 = 1/23/4 = 23
é convergente. Pelo critério da comparação, sum bn converge.

Passo 5

Como sum |an| converge, a série original é absolutamente convergente. Logo ela converge definitivamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

Exercícios relacionados