2^circ Questao (2,5 pts) E Um dardo é arremessudo do alto de uma plataforma em um angulo de 30^circ com a horizontal, com velocidade escalar inicial de 20 m / s. Considerando que a plataforma tem 45 m de altura e desprezando os efeitos da resisténcia do ar, determine:
(a) tempo de vôo do dardo;
(b) os alcances vertical e horizontal máximos;
(c) a velocidade do dardo antes de atingir a superficie, sua magnitude e direçao.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento de projétil lançado do alto de uma plataforma de altura y0=45:m com velocidade inicial escalar v0=20:m/s e ângulo de lançamento theta=30^circ. Vamos desprezar resistência do ar e adotar g=9,8:m/s^2. Para resolver usamos:
– Decomposição de v0 em componentes
– Equação do movimento vertical y(t)=y0+vy0,t-tfrac12>^2
– Equação do movimento horizontal x(t)=vx0,t
– Cálculo do tempo de voo, altura máxima, alcance horizontal, e velocidade ao atingir o solo.

Passo 2

Primeiro decompondo v0:
vx0=v0costheta=20cos30^circ=10raiz3approx17,32:m/s,
vy0=v0sintheta=20sin30^circ=10:m/s
O tempo de voo T satisfaz
y(T)=45+10T-tfrac12cdot9,8,T^2=0
Longrightarrow 4,9,T^2-10,T-45=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, tomamos a raiz positiva:
T=10+raiz10^2+4cdot4,9cdot452cdot4,9 =10+raiz9829,8approx4,22:s

Passo 3

(a) Altura máxima ocorre em th=tfracvy0g=10/9,8approx1,02:s. Então
ymax=45+10cdot1,02-tfrac12cdot9,8,(1,02)^2 =45+10^22cdot9,8approx50,10:m
(b) Alcance horizontal total é
xmax=vx0,Tapprox17,32cdot4,22approx73,1:m

Passo 4

No instante T, a componente horizontal de velocidade permanece vx(T)=17,32:m/s e a vertical é
vy(T)=vy0-g,T=10-9,8cdot4,22approx-31,3:m/s
A magnitude da velocidade final é
vf=raizvx^2+vy^2 =raiz17,32^2+(-31,3)^2approx35,8:m/s
O ângulo de impacto, medido em relação à horizontal, é
alpha=arctan!gl|vyvxgr| =arctan!l(tfrac31,317,32r)approx61,7^circ
para baixo.

Resposta

(a) Tapprox4,22:s
(b) Altura máxima approx50,10:m; alcance horizontal approx73,1:m
(c) Velocidade ao impacto approx35,8:m/s num ângulo de 61,7^circ abaixo da horizontal.

Exercícios relacionados