Questão 10. Dados vetores vecu e vecv, mostre as seguintes desigualdades:
Desigualdade de Cauchy-Schuwarz
|u cdot v| <=|u||v|

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz em R^n: dado u,v, mostrar que
|ucdotv|<=|u|;|v|
O conteúdo que vamos usar é a positividade do quadrado da norma de um vetor e a análise de um polinômio em parâmetro real.

Passo 2

Se u=0 ou v=0, então ucdotv=0 e |u|;|v|=0, de modo que
|ucdotv|=0<=0=|u|;|v|
Logo, a desigualdade vale trivialmente nesses casos.

Passo 3

Suponha agora uneq0 e considere, para todo real t, o vetor w(t)=v-tu. Como a norma quadrada é não negativa, temos
|w(t)|^2=(v-tu)cdot(v-tu)>=0

Passo 4

Expandindo o produto escalar,
|w(t)|^2 =vcdotv-2t,ucdotv+t^2,ucdotu =|v|^2-2t,(ucdotv)+t^2|u|^2
Isto é um polinômio quadrático em t que é sempre >=0. Para isso, seu discriminante deve satisfazer
De<a =(-2,ucdotv)^2-4|u|^2,|v|^2 =4l[(ucdotv)^2-|u|^2,|v|^2r]<=0
Daí
(ucdotv)^2<=|u|^2,|v|^2

Passo 5

Tirando raiz não negativa em ambos os lados da desigualdade acima, obtemos exatamente
|ucdotv|<=|u|;|v|

Resposta

|ucdotv|<=|u|;|v|

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