Questão 10. Dados vetores
e
, mostre as seguintes desigualdades:
Desigualdade de Cauchy-Schuwarz
Desigualdade de Cauchy-Schuwarz
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz em
: dado
, mostrar que
O conteúdo que vamos usar é a positividade do quadrado da norma de um vetor e a análise de um polinômio em parâmetro real.
Passo 2
Se
ou
, então
e
, de modo que
Logo, a desigualdade vale trivialmente nesses casos.
Passo 3
Suponha agora
e considere, para todo real
, o vetor
. Como a norma quadrada é não negativa, temos
Passo 4
Expandindo o produto escalar,
Isto é um polinômio quadrático em
que é sempre
. Para isso, seu discriminante deve satisfazer
Daí
Passo 5
Tirando raiz não negativa em ambos os lados da desigualdade acima, obtemos exatamente