8^{\circ} Um tubo de 100 mm de diâmetro interno conduz água a uma vazão de 15 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h} e uma temperatura constante de 50^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o fluxo de calor por convecção em 10 metros de tubulação entre a água e a parede interna do tubo, considerando que a parede interna da tubulação esteja a uma temperatura constante de 30^{\circ} \mathrm{C} Resposta: 3.10^{2} \mathrm{~W}

Passo 1

Resumindo o que o enunciado dá e o que ele pede, com todos os dados organizados:
\text{Diâmetro interno: } D = 100\\ \text{mm} = 0{,}1\\ \text{m}â
\text{Vazão volumétrica: } \dot V = 15\\ \mathrm{m^3/h} = \frac{15}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}0041667\\ \mathrm{m^3/s}ãé
\text{Temperatura da água (bulk): } T_w = 50^\circ\text{C}á
\text{Temperatura da parede interna (constante): } T_s = 30^\circ\text{C}
\text{Comprimento considerado: } L = 10\\ \text{m}
O que se pede: calcular o fluxo de calor por convecção (taxa térmica) entre a água e a parede interna da tubulação ao longo de L=10 m. Em outras palavras, queremos \dot Q dado por convecção na superfície interna do tubo.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica: a transferência de calor por convecção na superfície interna de um tubo é dada pela Lei de Newton do resfriamento:
\dot Q = h \, A \, \Delta T
onde:
h\\ \text{(W/m}^2\text{K)}\\ =\\ \text{coeficiente convectivo médio entre fluido e parede},é
A\\ \text{(m}^2\text{)}\\ =\\ \text{área de superfície interna relevante} = \pi D L,áí
\Delta T\\ \text{(K)}\\ =\\ T_w - T_s = 50^\circ\text{C} - 30^\circ\text{C} = 20\\ \text{K}.
Então precisamos calcular h usando correlações de convecção interna (pois o escoamento é forçado dentro do tubo).

Passo 3

Determinar a velocidade média do escoamento e o número de Reynolds para saber o regime de escoamento (laminar/turbulento).
Área da seção transversal do tubo:
A_c = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}1)^2}{4} = 0{,}00785398\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
v = \frac{\dot V}{A_c} = \frac{0{,}0041667}{0{,}00785398} \approx 0{,}5305\\ \mathrm{m/s}.
Para calcular o número de Reynolds precisamos de propriedades termofísicas da água à 50^\circ\mathrm{C}. Vou usar valores típicos de tabela:
\rho \approx 988\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \mu \approx 5{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
k \approx 0{,}643\\ \mathrm{W/m\cdot K},\quad c_p \approx 4182\\ \mathrm{J/kg\cdot K}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{\rho v D}{\mu} = \frac{988 \times 0{,}5305 \times 0{,}1}{5{,}5\times10^{-4}} \approx 9{,}5\times10^{4}.
Conclusão: \mathrm{Re}\approx9{,}5\cdot10^{4}, ou seja, regime turbulento (pois \mathrm{Re}>4000).

Passo 4

Calcular o número de Prandtl, que descreve a relação entre difusividade de momento e difusividade térmica:
\mathrm{Pr} = \frac{c_p\,\mu}{k}.
Com os valores usados:
\mathrm{Pr} = \frac{4182 \times 5{,}5\times10^{-4}}{0{,}643} \approx 3{,}576.
Explicação didática rápida: \mathrm{Pr} sem unidades indica se a difusão de calor é mais lenta ou mais rápida que a difusão de quantidade de movimento; para água líquida \mathrm{Pr} é algumas unidades (a difusão térmica é comparável à viscosidade).

Passo 5

Escolher correlação para Nusselt ( \mathrm{Nu}) em escoamento interno turbulento. Uma correlação prática e muito usada é a de Dittus–Boelter:
\mathrm{Nu} = 0{,}023\,\mathrm{Re}^{0{,}8}\,\mathrm{Pr}^{\,n},
onde n=0{,}4 quando o fluido está sendo aquecido e n=0{,}3 quando o fluido está sendo resfriado (no nosso caso a água está mais quente que a parede, logo ela está sendo resfriada → usamos n=0{,}3). A correlação é válida para tubos lisos em escoamento turbulento moderado e \mathrm{Pr} entre aproximadamente 0{,}7 e 160.
Aplicando:
\mathrm{Nu} = 0{,}023 \times (9{,}5\times10^{4})^{0{,}8} \times (3{,}576)^{0{,}3}.
Agora calculamos passo a passo (não pule etapas):
(9{,}5\times10^{4})^{0{,}8}\approx 9{,}6\times10^{3},
(3{,}576)^{0{,}3}\approx 1{,}463,
\mathrm{Nu}\approx 0{,}023\times9{,}6\times10^{3}\times1{,}463 \approx 3{,}23\times10^{2}.

Passo 6

Transformar \mathrm{Nu} em coeficiente convectivo h. Relação:
\mathrm{Nu} = \frac{h D}{k} \quad\Rightarrow\quad h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D}.
Com \mathrm{Nu}\approx 3{,}23\times10^{2}, k=0{,}643\\ \mathrm{W/mK} e D=0{,}1\\ \mathrm{m}:
h \approx \frac{3{,}23\times10^{2}\times0{,}643}{0{,}1} \approx 2{,}08\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2K}.
Interpretação: esse valor de h é típico de convecção forçada de água em tubos (ordem de 10^{3} W/m²K), muito maior que convecção natural no ar.

Passo 7

Calcular a área de superfície interna do trecho de tubo considerado:
A = \pi D L = \pi\times0{,}1\times10 = \pi\\ \mathrm{m^2} \approx 3{,}1416\\ \mathrm{m^2}.

Passo 8

Calcular a taxa de calor \dot Q usando a lei de Newton com \Delta T = 20\\ \mathrm{K}:
\dot Q = h A \Delta T = (2{,}08\times10^{3})\times(3{,}1416)\times(20).
Efetuando a multiplicação:
\dot Q \approx 2{,}076\times10^{3}\times62{,}832 \approx 1{,}30\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Interpretação do resultado e observação sobre a resposta do enunciado:
  • Pelo cálculo físico usando correlações de convecção interna (Dittus–Boelter), encontramos uma taxa de calor de ordem 10^{5}\\ \mathrm{W}.
  • Nota: o enunciado traz como “Resposta” o valor 3{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{W}. esse valor corresponderia a um coeficiente convectivo muito baixo (da ordem de h\approx 5\\ \mathrm{W/m^2K}), típico de convecção natural no ar, não de convecção forçada de água dentro de tubo. Portanto há uma discrepância entre o resultado obtido pela análise física apropriada e o valor dado no enunciado; é provável que o valor dado no enunciado seja resultado de outra hipótese (por exemplo uso indevido de outro h ou outro tipo de área) ou um erro tipográfico.
  • Eu segui a metodologia padrão para escoamento interno forçado (determinando \mathrm{Re}, \mathrm{Pr}, usando Dittus–Boelter com n=0{,}3 por se tratar de resfriamento) — procedimento comum em provas de transferência de calor.

Resposta

1{,}30\times10^{5}\\ \mathrm{W}

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