5^{\circ} Um reservatório de formato cilíndrico montado verticalmente, com diâmetro externo de 1,5 \mathrm{~m} e altura de 2,0 \mathrm{~m} apresenta uma temperatura superficial de 40^{\circ} \mathrm{C} na lateral e face superior. Considerando um ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C}, calcule a transferência de calor por convecção natural total (lateral mais tampo).

Passo 1

O enunciado pede a transferência de calor por convecção natural total (lateral mais tampo) de um reservatório cilíndrico, sabendo-se:
  • diâmetro externo D=1,5\\ \mathrm{m}
  • altura L=2,0\\ \mathrm{m}
  • temperatura da superfície (lateral e tampo) T_s=40^\circ\mathrm{C}
  • temperatura ambiente T_\infty=25^\circ\mathrm{C}
Dados solicitados: a taxa de calor total Q_{\text{total}} por convecção natural (soma da contribuição lateral e do tampo).
Informação útil que vamos usar (já que é padrão em problemas de convecção natural): propriedades do ar avaliadas na temperatura de filme T_f=(T_s+T_\infty)/2. Não resolvo nada ainda — apenas listei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Determinar a temperatura de filme e escolher propriedades do ar nessa temperatura (valores típicos de tabela).
  • Temperatura de filme:
T_f=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{40^\circ\mathrm{C}+25^\circ\mathrm{C}}{2}=32,5^\circ\mathrm{C}.
  • Valores típicos do ar em T_f (usados nas contas; são valores de tabela):
k=0,026\\ \mathrm{W/(m\,K)},\quad \nu=16{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},\quad \Pr=0{,}71,\quad \beta=\frac{1}{T_f+273{,}15}\approx0{,}00327\\ \mathrm{K^{-1}}.
Explicação didática: k é a condutividade térmica do ar (quanto melhor conduz calor por condução), \nu é a viscosidade cinemática (relevante para o regime do escoamento), \Pr é o número de Prandtl (relação entre difusividade de momento e de calor), e \beta é o coeficiente volumétrico de expansão (para gás ideal \beta\approx1/T em kelvin). Avaliamos essas propriedades no ponto médio entre superfície e ambiente porque o ar próximo à superfície tem temperatura entre essas duas.

Passo 3

Convecção na superfície lateral (superfície vertical): usar correlação de Churchill–Chu para placa vertical (válida numa ampla gama de Ra):
\Nu_L=\left[\,0{,}825+\frac{0{,}387\,\Ra_L^{1/6}}{\left(1+\left(\dfrac{0{,}492}{\Pr}\right)^{9/16}\right)^{8/27}}\,\right]^2,
onde \Nu_L é o número de Nusselt médio sobre a altura L (característica), e \Ra_L=\Gr_L\Pr é o número de Rayleigh baseado em L. O número de Grashof é
\Gr_L=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3}{\nu^2},
com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e \Delta T=T_s-T_\infty=15\\ \mathrm{K}. Vou calcular passo a passo.
Calcular \Gr_L:
L^3=(2{,}0)^3=8{,}0\\ \mathrm{m^3},
g\beta\Delta T L^3=9{,}81\cdot0{,}00327\cdot15\cdot8{,}0=3{,}8519\quad(\text{sem unidade}).
\nu^2=(16{,}5\times10^{-6})^2=2{,}7225\times10^{-10}\\ \mathrm{m^4/s^2}.
\Gr_L=\frac{3{,}8519}{2{,}7225\times10^{-10}}=1{,}415\times10^{10}.
Calcular \Ra_L:
\Ra_L=\Gr_L\Pr=1{,}415\times10^{10}\cdot0{,}71=1{,}004\times10^{10}.
Agora a correlação de Churchill–Chu. Primeiro calcule algumas quantidades intermediárias:
\Ra_L^{1/6}\approx(1{,}004\times10^{10})^{1/6}\approx46{,}42,
\left(\frac{0{,}492}{\Pr}\right)^{9/16}=\left(\frac{0{,}492}{0{,}71}\right)^{9/16}\approx0{,}8135,
\left(1+0{,}8135\right)^{8/27}\approx1{,}1929.
Substituindo:
\Nu_L=\left[0{,}825+\frac{0{,}387\cdot46{,}42}{1{,}1929}\right]^2 =\left[0{,}825+\frac{17{,}96}{1{,}1929}\right]^2 =\left[0{,}825+15{,}06\right]^2=(15{,}885)^2\approx252{,}2.
Converter para coeficiente convectivo médio h_L:
h_L=\frac{\Nu_L\,k}{L}=\frac{252{,}2\cdot0{,}026}{2{,}0}=3{,}279\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.
Área lateral do cilindro:
A_{\text{lat}}=\pi D L=\pi\cdot1{,}5\cdot2{,}0=\pi\cdot3{,}0=9{,}4248\\ \mathrm{m^2}.
Taxa de calor pela lateral:
Q_{\text{lat}}=h_L\,A_{\text{lat}}\,\Delta T=3{,}279\cdot9{,}4248\cdot15=463{,}2\\ \mathrm{W}.
Explicação didática curta: usamos a correlação que dá um número adimensional \Nu (relação entre transporte convectivo e difusivo). Multiplicando \Nu por k/L obtemos o coeficiente h, que vezes área e \Delta T dá o fluxo de calor.

Passo 4

Convecção no tampo (placa horizontal circular voltada para cima, superfície mais quente que o ar): para placa horizontal aquecida voltada para cima a correlação clássica (regime usual) é
\Nu_D = 0{,}54\,\Ra_D^{1/4},
onde o comprimento característico D (diâmetro) é usado. Aqui \Ra_D=\Gr_D\Pr e
\Gr_D=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,D^3}{\nu^2}.
Calcule \Gr_D e \Ra_D:
D^3=(1{,}5)^3=3{,}375\\ \mathrm{m^3},
g\beta\Delta T D^3=9{,}81\cdot0{,}00327\cdot15\cdot3{,}375=1{,}6248,
\Gr_D=\frac{1{,}6248}{2{,}7225\times10^{-10}}=5{,}968\times10^{9},
\Ra_D=\Gr_D\Pr=5{,}968\times10^{9}\cdot0{,}71=4{,}237\times10^{9}.
Calcular \Nu_D:
\Ra_D^{1/4}\approx(4{,}237\times10^{9})^{1/4}\approx255{,}0,
\Nu_D=0{,}54\cdot255{,}0\approx137{,}7.
Coeficiente convectivo no tampo:
h_{\text{tampo}}=\frac{\Nu_D\,k}{D}=\frac{137{,}7\cdot0{,}026}{1{,}5}=2{,}386\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}.
Área do tampo (círculo de diâmetro D):
A_{\text{tampo}}=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2=\pi\cdot0{,}75^2=\pi\cdot0{,}5625=1{,}7671\\ \mathrm{m^2}.
Taxa de calor no tampo:
Q_{\text{tampo}}=h_{\text{tampo}}\,A_{\text{tampo}}\,\Delta T=2{,}386\cdot1{,}7671\cdot15=63{,}2\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Somar as contribuições lateral e do tampo para obter a transferência total por convecção:
Q_{\text{total}}=Q_{\text{lat}}+Q_{\text{tampo}}=463{,}2+63{,}2=526{,}4\\ \mathrm{W}.
Comentários finais didáticos e empáticos: a maior parte do calor sai pela lateral porque a área lateral é bem maior que a do tampo; os coeficientes h estão na faixa de poucos \mathrm{W/(m^2\,K)}, típico para convecção natural no ar. Usei correlações empíricas padrão e propriedades do ar no ponto médio de temperatura, que é procedimento comum em prova/prática.

Resposta

Q_{\text{total}}\approx526{,}4\\ \mathrm{W}

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