6^{\circ} Um tubo horizontal de 10 cm de diâmetro externo possui uma temperatura superficial constante de 55^{\circ} \mathrm{C} e passa dentro de um tanque de água de 1,5 \mathrm{~m} de comprimento a 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a perda de calor para a água por convecção nesse trajeto. R: 1,6.10^{2} \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado pede a perda de calor por convecção da superfície externa de um tubo imerso em água ao longo de um comprimento de 1{,}5\\ \mathrm{m}. As informações dadas são:
\begin{aligned} &\text{diâmetro externo do tubo: } D = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{comprimento imerso: } L = 1{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura superficial do tubo: } T_s = 55^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura da água (temperatura do tanque): } T_\infty = 25^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}âá
A pergunta é: calcular a taxa de perda de calor \dot{Q} para a água por convecção ao longo desse trecho.

Passo 2

Decidir o método: não foi informado escoamento forçado nem velocidade da água, logo a situação típica é convecção natural (livre) em torno de um cilindro horizontal. Para convecção natural usamos correlações baseadas no número de Rayleigh \mathrm{Ra} e no número de Prandtl \mathrm{Pr}, e então obtemos o número de Nusselt médio \mathrm{Nu}_D para o diâmetro D. A partir de \mathrm{Nu}_D obtemos o coeficiente de transferência de calor por convecção h e finalmente \dot{Q}=h A (T_s-T_\infty). Vou usar a correlação de Churchill & Chu para convecção natural em corpos: \mathrm{Nu}_D=0{,}60+\frac{0{,}387\,\mathrm{Ra}_D^{1/6}}{\left[1+\left(\dfrac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{8/27}}.
Agora vamos definir e calcular passo a passo cada número adimensional e as propriedades do fluido.

Passo 3

Definições e fórmulas necessárias (aulas rápidas):
\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha}, \quad \mathrm{Ra}_D=\frac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,D^{3}}{\nu\,\alpha},
onde:
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}});
  • \beta é o coeficiente volumétrico de expansão térmica do fluido (para líquidos \beta=-(1/\rho)(\mathrm{d}\rho/\mathrm{d}T); usamos valor aproximado a partir de tabelas);
  • \nu é a difusividade cinemática ( \nu=\mu/\rho);
  • \alpha é a difusividade térmica ( \alpha=k/(\rho c_p));
  • D é a característica (aqui o diâmetro externo do tubo);
  • T_s-T_\infty é a diferença de temperatura de superfície/fluido.
    Depois de \mathrm{Nu}_D, o coeficiente convectivo médio é
h=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D},
e a área de troca na superfície lateral do tubo é
A=\pi D L.
Finalmente:
\dot{Q}=h\,A\,(T_s-T_\infty).

Passo 4

Escolha das propriedades do fluido (água) e justificativa: para calcular \nu,\alpha,k,c_p,\beta usamos valores à temperatura de filme \,T_f=(T_s+T_\infty)/2=(55+25)/2=40^\circ\mathrm{C}. Esses valores são obtidos em tabelas de propriedades da água. Usarei os valores aproximados abaixo (valores típicos tabulados a 40^\circ\mathrm{C}):
\begin{aligned} &\rho = 992\\ \mathrm{kg/m^{3}},\\\ &k = 0{,}631\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &\mu = 0{,}657\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &c_p = 4179\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. \end{aligned}
A partir desses:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{0{,}657\times10^{-3}}{992}=6{,}626\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
\alpha=\frac{k}{\rho c_p}=\frac{0{,}631}{992\times4179}=1{,}521\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
\mathrm{Pr}=\frac{\nu}{\alpha}=\frac{6{,}626\times10^{-7}}{1{,}521\times10^{-7}}=4{,}357.
Para o coeficiente de expansão volumétrica \beta usamos um valor típico de água a 40^\circ\mathrm{C}:
\beta \approx 3{,}03\times10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}}.
(Esse \beta vem de tabelas experimentais: líquidos têm \beta da ordem de 10^{-4} a 10^{-3}.)

Passo 5

Calcular o número de Rayleigh \mathrm{Ra}_D. Substituindo na definição:
\mathrm{Ra}_D=\frac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,D^{3}}{\nu\,\alpha}.
Numérico:
\begin{aligned} g&=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\\\ \beta&=3{,}03\times10^{-4}\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ T_s-T_\infty&=55-25=30\\ \mathrm{K},\\\ D&=0{,}10\\ \mathrm{m},\\\ \nu&=6{,}626\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s},\\\ \alpha&=1{,}521\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}. \end{aligned}
Calculemos o numerador:
g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,D^{3}=9{,}81\times3{,}03\times10^{-4}\times30\times(0{,}10)^{3}=8{,}919\times10^{-5}.
O denominador:
\nu\,\alpha=(6{,}626\times10^{-7})\times(1{,}521\times10^{-7})=1{,}008\times10^{-13}.
Portanto
\mathrm{Ra}_D=\frac{8{,}919\times10^{-5}}{1{,}008\times10^{-13}}=8{,}85\times10^{8}.

Passo 6

Calcular \mathrm{Nu}_D pela correlação de Churchill & Chu:
\mathrm{Nu}_D=0{,}60+\frac{0{,}387\,\mathrm{Ra}_D^{1/6}}{\left[1+\left(\dfrac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}\right]^{8/27}}.
Primeiro \mathrm{Ra}_D^{1/6}:
\mathrm{Ra}_D^{1/6}=(8{,}85\times10^{8})^{1/6}\approx 30{,}99.
Calcule o denominador auxiliar:
\left(\dfrac{0{,}559}{\mathrm{Pr}}\right)^{9/16}=\left(\dfrac{0{,}559}{4{,}357}\right)^{9/16}=(0{,}1283)^{0{,}5625}\approx0{,}316,
\left[1+0{,}316\right]^{8/27}=1{,}316^{0{,}2963}\approx1{,}0847.
Agora o termo principal:
\frac{0{,}387\times30{,}99}{1{,}0847}=\frac{12{,}00}{1{,}0847}\approx11{,}067.
Somando o 0{,}60:
\mathrm{Nu}_D\approx0{,}60+11{,}067=11{,}667.

Passo 7

Calcular o coeficiente convectivo h:
h=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}=\frac{11{,}667\times0{,}631}{0{,}10}=73{,}63\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 8

Calcular a área de troca A (área lateral do tubo imerso):
A=\pi D L=\pi\times0{,}10\times1{,}5=0{,}47124\\ \mathrm{m^2}.

Passo 9

Calcular a taxa de perda de calor \dot{Q}:
\dot{Q}=h\,A\,(T_s-T_\infty)=73{,}63\times0{,}47124\times30.
Primeiro A\,(T_s-T_\infty)=0{,}47124\times30=14{,}1372.
Então
\dot{Q}=73{,}63\times14{,}1372\approx1{,}041{,}1\\ \mathrm{W}.

Resposta

1{,}04\times10^{3}\\ \mathrm{W}

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