\mathbf{0 2}(\mathbf{2 , 0}) - Considere uma onda plana uniforme de frequência 400 THz se propagando no ar na direção -z. O campo elétrico está polarizado na direção x. Essa onda incide normalmente em uma superficie de vidro no plano z=0 e a permissividade relativa do vidro é \varepsilon_{\mathrm{r}}=2.3 (meio não-magnéticos \mu_{\mathrm{r}}=1 ). A amplitude do campo elétrico da onda incidente é 12 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e sua fase inicial é \pi.
a) Escreva os fasores e as expressões dos campos instantâneos incidentes \mathbf{E}_{\mathbf{i}} \mathbf{e} \mathbf{H}_{\mathbf{i}}.
b) Escreva os fasores e as expressões dos campos instantâneos refletidos \mathbf{E}_{r} e \mathbf{H}_{r}.
c) Escreva os fasores e as expressões dos campos instantâneos transmitidos \mathbf{E}_{t} e \mathbf{H}_{t}.
d) Determine a fração da potência incidente que é transmitida para a onda que se propaga no vidro.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda plana em ar \varepsilon_{r1}=1, \mu_{r1}=1 de frequência f=400,THz, propagando-se no sentido -z, polarizada em x, que incide normalmente em um vidro \varepsilon_{r2}=2.3, \mu_{r2}=1 no plano z=0. A amplitude do campo elétrico incidente é E_{0}=12,V/m e a fase inicial é \pi.
Precisamos usar as fórmulas de coeficiente de reflexão
\Gamma=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1},
de coeficiente de transmissão de campo
\tau=\frac{2\,\eta_2}{\eta_2+\eta_1},
e de fração de potência transmitida
T_P=\frac{4\,\eta_1\eta_2}{(\eta_1+\eta_2)^2}.

Passo 2

Cálculo dos parâmetros do meio 1 (ar): \displaystyle \omega=2\pi f=2\pi\cdot400\times10^{12}\approx2{,}513\times10^{15},rad/s, \displaystyle k_1=\frac{\omega}{c}\approx\frac{2{,}513\times10^{15}}{3\times10^8}\approx8{,}38\times10^6,rad/m, \displaystyle \eta_1=\eta_0\approx377, \Omega.
Fasores incidentes:
\tilde{\mathbf E}_i=\hat x\,12\,e^{j\pi}\quad(\text{V/m}),
\tilde{\mathbf H}_i=\hat k_i\times\frac{\tilde{\mathbf E}_i}{\eta_1} =(-\hat y)\,\frac{12}{377}\,e^{j\pi}\quad(\text{A/m}).
Campos instantâneos (para z>0):
\mathbf E_i(z,t) =\hat x\,12\cos\bigl(\omega t + k_1 z + \pi\bigr)\quad(\text{V/m}),
\mathbf H_i(z,t) =-\hat y\,\frac{12}{377}\cos\bigl(\omega t + k_1 z + \pi\bigr)\quad(\text{A/m}).

Passo 3

Meio 2 (vidro): \displaystyle \eta_2=\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{r2}}} =\frac{377}{\sqrt{2{,}3}}\approx248{,}7, \Omega, \displaystyle k_2=k_1\sqrt{2{,}3}\approx8{,}38\times10^6\cdot1{,}5166\approx1{,}27\times10^7,rad/m.
Coeficientes:
\Gamma=\frac{248{,}7-377}{248{,}7+377}\approx-0{,}205, \quad \tau=\frac{2\cdot248{,}7}{248{,}7+377}\approx0{,}795.
Fasores refletidos:
\tilde{\mathbf E}_r =\hat x\,12\,\Gamma\,e^{j\pi}, \quad \tilde{\mathbf H}_r =(+\hat y)\,\frac{12\,\Gamma}{377}\,e^{j\pi}.
Campos instantâneos refletidos (para z>0):
\mathbf E_r(z,t) =\hat x\,12\,\Gamma\cos\bigl(\omega t - k_1 z + \pi\bigr),
\mathbf H_r(z,t) =+\hat y\,\frac{12\,\Gamma}{377}\cos\bigl(\omega t - k_1 z + \pi\bigr).

Passo 4

Fasores transmitidos (para z<0):
\tilde{\mathbf E}_t =\hat x\,12\,\tau\,e^{j\pi}, \quad \tilde{\mathbf H}_t =(-\hat y)\,\frac{12\,\tau}{248{,}7}\,e^{j\pi}.
Campos instantâneos transmitidos (para z<0):
\mathbf E_t(z,t) =\hat x\,12\,\tau\cos\bigl(\omega t + k_2 z + \pi\bigr),
\mathbf H_t(z,t) =-\hat y\,\frac{12\,\tau}{248{,}7}\cos\bigl(\omega t + k_2 z + \pi\bigr).

Passo 5

A fração da potência incidente que é transmitida no vidro é
T_P =\frac{4\,\eta_1\eta_2}{(\eta_1+\eta_2)^2} =\frac{4\cdot377\cdot248{,}7}{(377+248{,}7)^2} \approx0{,}958.

Resposta

a) \tilde{\mathbf E}_i=\hat x\,12\,e^{j\pi} V/m, \tilde{\mathbf H}_i=-\hat y\,\dfrac{12}{377}\,e^{j\pi} A/m; \mathbf E_i(z,t)=\hat x\,12\cos(\omega t+k_1z+\pi) V/m, \mathbf H_i(z,t)=-\hat y\,\dfrac{12}{377}\cos(\omega t+k_1z+\pi) A/m.
b) \Gamma\approx-0,205, \tilde{\mathbf E}_r=\hat x\,12\,\Gamma\,e^{j\pi}, \tilde{\mathbf H}_r=+\hat y\,\dfrac{12\,\Gamma}{377}\,e^{j\pi}; \mathbf E_r(z,t)=\hat x\,12\,\Gamma\cos(\omega t-k_1z+\pi), \mathbf H_r(z,t)=+\hat y\,\dfrac{12\,\Gamma}{377}\cos(\omega t-k_1z+\pi).
c) \tau\approx0,795, \tilde{\mathbf E}_t=\hat x\,12\,\tau\,e^{j\pi}, \tilde{\mathbf H}_t=-\hat y\,\dfrac{12\,\tau}{248{,}7}\,e^{j\pi}; \mathbf E_t(z,t)=\hat x\,12\,\tau\cos(\omega t+k_2z+\pi), \mathbf H_t(z,t)=-\hat y\,\dfrac{12\,\tau}{248{,}7}\cos(\omega t+k_2z+\pi).
d) Fração de potência transmitida T_P\approx0,958.

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