5^{\circ} ) Use integral dupla para calcular a área de uma elipse com eixo real a e eixo imaginário b. Sugestão: Projete a elipse no plano cartesiano de forma que seu centro coincida com a origem e seus eixos real e imaginário coincidam com os eixos x e y, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área de uma elipse de semieixos a e b usando integral dupla. Vamos descrever a região da elipse no plano xy e usar uma mudança de variáveis adequada para simplificar o cálculo.

Passo 2

A elipse no plano cartesiano centrada na origem com eixos alinhados a x e y é a região
D = \bigl\{(x,y)\mid \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}\le 1\bigr\}.
Queremos calcular
\iint_{D}1\,dA,
que é justamente a área de D.

Passo 3

Fazemos a mudança de variáveis
x = a\,u,\quad y = b\,v,
de modo que o disco unitário
U = \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}
é enviado em D.

Passo 4

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana é
J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0\\[4pt] 0 & b \end{pmatrix},
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\bigl|\det J\bigr| = a\,b.
Assim
\iint_{D}1\,dA = \iint_{U} \bigl|\det J\bigr|\,du\,dv = ab \iint_{U}1\,du\,dv.]

Passo 5

A integral \iint_{U}1\,du\,dv é a área do disco unitário, que vale \pi. Portanto
\iint_{D}1\,dA = ab\cdot\pi = \pi\,a\,b.

Resposta

A área da elipse é \pi\,a\,b.

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