5^{\circ} ) Use integral dupla para calcular a área de uma elipse com eixo real a e eixo imaginário b. Sugestão: Projete a elipse no plano cartesiano de forma que seu centro coincida com a origem e seus eixos real e imaginário coincidam com os eixos x e y, respectivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área de uma elipse de semieixos a e b usando integral dupla. Vamos descrever a região da elipse no plano xy e usar uma mudança de variáveis adequada para simplificar o cálculo.
Passo 2
A elipse no plano cartesiano centrada na origem com eixos alinhados a x e y é a região
D = \bigl\{(x,y)\mid \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}\le 1\bigr\}.
Queremos calcular
\iint_{D}1\,dA,
que é justamente a área de D.
Passo 3
Fazemos a mudança de variáveis
x = a\,u,\quad y = b\,v,
de modo que o disco unitário
U = \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}
é enviado em D.
Passo 4
Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana é