4^{\circ} ) (1,5) Determine os momentos de inércia de um quadrado de densidade constante k e lado L, se um dos seus vértices é a origem e dois de seus lados estão sobre os eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina quadrada no 1.º quadrante, de lado L e densidade superficial constante k. Um vértice está na origem e dois lados coincidem com os eixos x e y. Vamos calcular os momentos de inércia em relação ao eixo x, ao eixo y e o momento polar em torno da origem.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, cada elemento de massa é
\mathrm{d}m = k\,\mathrm{d}A = k\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,
com 0\le x\le L e 0\le y\le L.

Passo 3

O momento de inércia em relação ao eixo x é
I_x=\iint y^2\,\mathrm{d}m =k\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{L}y^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =k\int_{0}^{L}\bigl(\underbrace{\int_{0}^{L}\mathrm{d}x}_{=L}\bigr)y^2\,\mathrm{d}y =k\,L\int_{0}^{L}y^2\,\mathrm{d}y =k\,L\cdot\frac{L^3}{3} =\frac{k\,L^4}{3}.

Passo 4

Analogamente, o momento de inércia em relação ao eixo y é
I_y=\iint x^2\,\mathrm{d}m =k\int_{0}^{L}\!\!\int_{0}^{L}x^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =k\int_{0}^{L}\bigl(\underbrace{\int_{0}^{L}x^2\,\mathrm{d}x}_{=L^3/3}\bigr)\mathrm{d}y =k\,\frac{L^3}{3}\int_{0}^{L}\mathrm{d}y =k\,\frac{L^3}{3}\,L =\frac{k\,L^4}{3}.

Passo 5

O momento polar em torno da origem (eixo z perpendicular ao plano) é
I_{o}= \iint (x^2+y^2)\,\mathrm{d}m = I_x+I_y = \frac{k\,L^4}{3} + \frac{k\,L^4}{3} = \frac{2\,k\,L^4}{3}.

Resposta

I_x = \frac{k\,L^4}{3}, \quad I_y = \frac{k\,L^4}{3}, \quad I_{o} = \frac{2\,k\,L^4}{3}.

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