No instante t=0, um tanque contém Q_{0} \mathrm{lb} de sal disolvida em 100 gal de água. Suponha que água contendo 1 / 4 \mathrm{lb} de sal por galão está entrando no tanque a uma taxa (velocidade) de r galões por minuto, e sai na mesma taxa.
a) Modelar o problema de valor inicial que descreve o processo do fluxo da solução salina.
b) Determinar a quantidade de sal Q(t) no tanque em função do tempo.
c) Achar a quantidade limite de sal Q_{L} no tanque após um tempo suficientemente grande.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume constante de 100 galões em que entra solução com concentração de \tfrac14 lb/gal ao fluxo r gal/min e sai na mesma vazão. Inicialmente há \,Q_{0} lb de sal dissolvidas. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos precisar montar o balanço de massa de sal, reconhecer a forma padrão
\frac{dQ}{dt} + p\,Q = g
e usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Para cada instante, a taxa de variação do sal dQ/dt é
entrada – saída.
A entrada é
r \times \Bigl(\tfrac14\Bigr) = \frac{r}{4}\quad\text{(lb/min)},
a saída é concentração no tanque \tfrac{Q}{100} (lb/gal) vezes vazão r, isto é
r \,\frac{Q}{100} = \frac{r}{100}\,Q\quad\text{(lb/min)}.
Logo o problema de valor inicial é
\frac{dQ}{dt} = \frac{r}{4} \;-\;\frac{r}{100}\,Q,\qquad Q(0)=Q_{0}.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão,
\frac{dQ}{dt} + \frac{r}{100}\,Q = \frac{r}{4}.
É uma EDO linear de coeficiente constante. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\!\int \tfrac{r}{100}\,dt\Bigr) = e^{\,rt/100}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(e^{rt/100}\,Q\bigr) = e^{rt/100}\,\frac{r}{4}.

Passo 4

Integramos em t:
e^{rt/100}\,Q = \int e^{rt/100}\,\frac{r}{4}\,dt + C = \frac{r}{4}\cdot\frac{100}{r}\,e^{rt/100} + C = 25\,e^{rt/100} + C.
Logo
Q(t) = 25 + C\,e^{-\,rt/100}.
Usando Q(0)=Q_{0}
Q_{0} = 25 + C \quad\Longrightarrow\quad C = Q_{0}-25,
portanto
Q(t) = 25 + \bigl(Q_{0}-25\bigr)\,e^{-\,rt/100}.

Passo 5

Para tempo muito grande, e^{-\,rt/100}\to0, de modo que
Q_{L}=\lim_{t\to\infty}Q(t)=25\quad\text{(lb)}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dQ}{dt} = \frac{r}{4} - \frac{r}{100}\,Q,\;Q(0)=Q_{0}.
(b) \displaystyle Q(t) = 25 + \bigl(Q_{0}-25\bigr)\,e^{-\tfrac{r}{100}t}.
(c) \displaystyle Q_{L}=25 (lb).

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