circledast Dada a curva descrita pelas equações paramétricas
x = t^3 - 3t e y = 3t^2
encontre T(t) e N(t). Faça um esboço de uma parte da curva em t = 2 e trace as representações de T(2) e N(2) tendo como ponto inicial t = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva descrita por equações paramétricas:
O que precisamos encontrar são os vetores tangente T(t) e normal N(t) para essa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções x(t) e y(t) em relação a t. Isso nos dará a velocidade na curva, ou seja, o vetor tangente antes de normalizá-lo.

Passo 3

Agora, o vetor tangente não normalizado é dado por:
Para obter o vetor tangente unitário T(t), precisamos normalizar v(t). Isso significa dividir o vetor pela sua magnitude.

Passo 4

Calculamos a magnitude de v(t):
Podemos simplificar:

Passo 5

Agora, encontramos o vetor tangente unitário T(t):

Passo 6

Para encontrar o vetor normal unitário N(t), primeiro precisamos derivar T(t) em relação a t e então normalizar esse vetor.
Vamos derivar cada componente de T(t):
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:

Passo 7

Assim, o vetor derivado de T(t) é:
A magnitude de é:
Simplificando:
Então,

Passo 8

Agora, o vetor normal unitário N(t) é dado por:

Passo 9

Agora que temos T(t) e N(t), vamos especificar para t = 2:

Resposta

Os vetores tangente e normal são:
Para t = 2, temos:

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