Encontre o vetor tangente unitário à curva tendo equação vetorial sigma(t) = 4 cosh(2t) i + 4 senh(2t) j + 6t k no ponto onde t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário à curva definida pela equação vetorial no ponto onde . Esse tipo de problema cai na matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente em vetores tangentes e normalização de vetores. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para achar o vetor tangente e depois transformar esse vetor em um vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial sigma(t) em relação a t. A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor velocidade, que é o vetor tangente à curva.
Vamos derivar cada componente:
  • A derivada de em relação a t é .
  • A derivada de em relação a t é .
  • A derivada de em relação a t é .
Então, a derivada da função vetorial é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para encontrar o vetor tangente naquele ponto.
Primeiro, precisamos lembrar que:
Substituindo na expressão de :
Então, o vetor tangente no ponto é:

Passo 4

Agora, precisamos transformar esse vetor tangente em um vetor unitário. Para isso, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude (comprimento).
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Resposta

O vetor tangente unitário à curva no ponto onde é:

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