Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
d) f(x, y) = x * e^x^2 - y^2 em (2, 2, f(2, 2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto dado . Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e superfícies. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente e depois determinar a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de para saber as coordenadas completas do ponto no gráfico.
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra fixa.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto, temos:
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular o valor das derivadas parciais no ponto :
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 5

Com as derivadas parciais conhecidas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Passo 6

A reta normal ao gráfico da função no ponto dado é uma reta que é perpendicular ao plano tangente. Para encontrá-la, precisamos do vetor normal ao plano tangente, que é dado pelos coeficientes das variáveis e na equação do plano.
Da equação do plano , podemos reescrever como:
Então, o vetor normal é .

Passo 7

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal. A fórmula geral é:
Onde e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é:

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