circledast Encontre o vetor sigma(t) para o qual sigma'(t) = e^(-t) i + e^(t) j e sigma(0) = i + j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A questão pede para encontrar o vetor sigma(t) sabendo que sua derivada sigma'(t) é e que, quando , . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada sigma'(t) para encontrar sigma(t). A integral de um vetor é feita componente por componente. Então, vamos integrar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos integrar a componente i:
Aqui, é a constante de integração para a componente i.

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente j:
é a constante de integração para a componente j.

Passo 5

Com as integrais feitas, podemos montar a expressão geral para sigma(t):

Passo 6

Para encontrar as constantes e , usamos a condição inicial . Vamos substituir na expressão de sigma(t):
Isso deve ser igual a .

Passo 7

Igualando as componentes, temos:

Passo 8

Agora que encontramos e , substituímos de volta na expressão de sigma(t):

Resposta

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