Seja f(x, y) = 3 x e^(y) - x^3 - e^(3 y). Determine, caso existam, os pontos de máximo local, mínimo local e sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos achar os pontos onde ela tem máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos são onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para achar os pontos críticos:

Passo 4

Da primeira equação, sabemos que . Vamos substituir isso na segunda equação:
Mas também temos que , então . Substituindo na equação:

Passo 5

Resolvendo , temos duas soluções:
Para cada valor de , encontramos usando :
  1. Se , então . Mas isso não é possível porque para todo . Então, descartamos .
  2. Se , então .

Passo 6

Calculando :
Então, o ponto crítico é:

Passo 7

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 8

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Substituindo no ponto crítico:
Então,
Como e , isso indica que temos um ponto de máximo local.

Resposta

O ponto é um ponto de máximo local para a função .

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