Determine a derivada das seguintes funções: H(x)=x^2 integral0^x^2 sen uu d u, Resposta: H^prime(x)=2 x integral0^x^2 sen uu d u+2 x sen(x^2)

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra do produto e a regra da cadeia. Para isso, vamos precisar conhecer a derivada de uma função que é produto de duas funções e a derivada de uma integral dependente de uma variável.

Passo 2

Primeiro, identifique as partes da função que estão multiplicadas. No caso, temos e . Vamos chamar essas partes de e .

Passo 3

Agora, aplique a regra do produto para derivar . A regra do produto diz que .

Passo 4

Calcule a derivada de . A derivada de em relação a é .

Passo 5

Em seguida, calcule a derivada de g'(x) = ddx ( integral0^x^2 sen uu , du ) = sen(x^2)x^2 cdot 2x = 2x cdot sen(x^2)x^2 = 2 sen(x^2)x . Para isso, usamos a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites dependentes de :
No entanto, observamos que simplificando, obtemos .

Passo 6

Agora, substitua H'(x) = 2x cdot integral0^x^2 sen uu , du + x^2 cdot 2 cdot sen(x^2) , H'(x) = 2x integral0^x^2 sen uu , du + 2x cdot sen(x^2) e na regra do produto:
Simplificando, temos:

Resposta

H^prime(x) = 2 x integral0^x^2 sen uu , du + 2 x sen(x^2)

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