Um circuito é alimentado por uma fonte ideal de 90 V . Três resistores idênticos de 30 \Omega estão ligados de forma que dois deles estão em paralelo, e esse conjunto está em paralelo com o terceiro resistor.
Determine:
(a) a resistência equivalente do circuito;
(b) a corrente total fornecida pela fonte;
(c) a corrente em cada resistor;
(d) a potência dissipada em cada resistor.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Fonte ideal com tensão de saída \,90\\ \text{V}.
    • Três resistores idênticos com resistência \,30\\ \Omega cada um.
    • Dois desses resistores estão ligados em paralelo entre si; esse par (o equivalente dessa paralela) está em paralelo com o terceiro resistor.
  • O que o enunciado pede:
    (a) a resistência equivalente do circuito;
    (b) a corrente total fornecida pela fonte;
    (c) a corrente em cada resistor;
    (d) a potência dissipada em cada resistor.

Passo 2

Conceito e fórmula de resistores em paralelo (passo-a-passo didático).
Quando dois ou mais resistores estão ligados em paralelo, a tensão em cada resistor é a mesma e a condutância total é soma das condutâncias individuais. A fórmula geral para dois resistores em paralelo é:
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2},
onde \,R_{\text{eq}} é a resistência equivalente e \,R_1,R_2 são as resistências dos dois ramos.
No nosso caso, os dois resistores iguais têm \,R_1=R_2=30\\ \Omega. Então:
\frac{1}{R_{\text{par}}}=\frac{1}{30}+\frac{1}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}.
Invertendo,
R_{\text{par}}=15\\ \Omega.
Comentário intuitivo: dois resistores iguais em paralelo têm resistência equivalente igual à metade de cada um; aqui \,30/2=15\\ \Omega.

Passo 3

Agora esse conjunto de \,15\\ \Omega (o par) está em paralelo com o terceiro resistor de \,30\\ \Omega. Aplicando a mesma fórmula para a paralela entre R_{\text{par}}=15\\ \Omega e R_3=30\\ \Omega:
\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{15}+\frac{1}{30}.
Calcule os termos:
\frac{1}{15}=\frac{2}{30},\qquad \frac{2}{30}+\frac{1}{30}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}.
Invertendo,
R_{\text{eq}}=10\\ \Omega.

Passo 4

Cálculo da corrente total fornecida pela fonte usando a Lei de Ohm.
A Lei de Ohm diz que para uma fonte de tensão \,V que alimenta uma resistência equivalente \,R_{\text{eq}},
V=I_{\text{tot}}\,R_{\text{eq}},
onde \,I_{\text{tot}} é a corrente total fornecida. Isolando \,I_{\text{tot}}:
I_{\text{tot}}=\frac{V}{R_{\text{eq}}}.
Substituindo \,V=90\\ \text{V} e \,R_{\text{eq}}=10\\ \Omega:
I_{\text{tot}}=\frac{90}{10}=9\\ \text{A}.

Passo 5

Determinar a corrente em cada resistor (explicando por que a tensão em cada ramo paralelo é a mesma).
Em circuitos em paralelo, a tensão sobre cada ramo é igual à tensão da fonte. Portanto a tensão em cada resistor (ou em cada ramo paralelo) é \,90\\ \text{V}.
  • Corrente no terceiro resistor (o que está sozinho em paralelo):
I_3=\frac{V}{R}=\frac{90}{30}=3\\ \text{A}.
  • Corrente no ramo que contém os dois resistores em paralelo (o ramo equivalente de \,15\\ \Omega):
I_{\text{par}}=\frac{V}{R_{\text{par}}}=\frac{90}{15}=6\\ \text{A}.
Dentro desse ramo paralelo, os dois resistores são idênticos, portanto a corrente se divide igualmente entre eles. Logo cada resistor do par recebe
I_{\text{cada do par}}=\frac{I_{\text{par}}}{2}=\frac{6}{2}=3\\ \text{A}.
Verificação de consistência: as correntes individuais somam a corrente total:
3\\ \text{A} + 3\\ \text{A} + 3\\ \text{A} = 9\\ \text{A} = I_{\text{tot}}.

Passo 6

Potência dissipada em cada resistor.
Fórmulas úteis para potência dissipada em um resistor:
P=V I,\qquad P=I^2 R,\qquad P=\frac{V^2}{R},
onde \,P é potência, \,V é tensão sobre o resistor, \,I é corrente pelo resistor e \,R é sua resistência.
Como já encontramos que cada resistor tem corrente \,3\\ \text{A} e resistência \,30\\ \Omega, usamos \,P=I^2 R:
P=(3)^2\cdot 30=9\cdot 30=270\\ \text{W}.
Alternativamente, com \,V=90\\ \text{V} e \,R=30\\ \Omega:
P=\frac{V^2}{R}=\frac{90^2}{30}=\frac{8100}{30}=270\\ \text{W},
mesmo resultado.
Portanto cada resistor dissipa \,270\\ \text{W}.

Resposta

(a) R_{\text{eq}}=10\\ \Omega
(b) I_{\text{tot}}=9\\ \text{A}
(c) Corrente em cada resistor: 3\\ \text{A} (cada um)
(d) Potência em cada resistor: 270\\ \text{W}

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