Um circuito composto de um capacitor de capacitância está descarregando através de uma resistência R. a) Em termos da constante de tempo tau (que é igual ao produto de RC).
a) Determine, em que instante a carga no capacitor será igual ao 25 % do seu valor inicial ?
b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual ao 25 % do seu valor inicial ?
c) Determine o expressao da energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor (Reobtenha esta resposta integrando dU=Ri^2 dt ).

Passo 1

Aqui a gente tem um circuito RC onde um capacitor de capacitância C descarrega por uma resistência R. A constante de tempo é tau=RC. Para resolver a parte (a) e (b) vamos usar a lei de descarga da carga q(t)=Q0e^-t/tau e a expressão da energia no capacitor U(t)=tfracq(t)^22C=U0e^-2t/tau. Na parte (c) vamos precisar da corrente de descarga i(t)=-dqdt e integrar dUR=Ri^2,dt.

Passo 2

Para a parte (a), queremos o instante t tal que q(t)=0,25Q0. Igualando: Q0e^-t/tau=0,25Q0\no que dá e^-t/tau=0,25. Tomando ln de ambos os lados: -tfracttau=ln(0,25)=lnl(4^-1r)=-ln4\no que envolve t=tauln4.

Passo 3

Na parte (b), queremos U(t)=0,25U0, isto é U0e^-2t/tau=0,25U0. Assim e^-2t/tau=0,25, logo: -tfrac2ttau=ln0,25=-ln4implies t=tfractau2ln4=tauln2.

Passo 4

Para a parte (c), primeiro achamos a corrente de descarga: i(t)=-dqdt=Q0taue^-t/tau. Então a potência dissipada no resistor é PR=Ri^2=RQ0^2tau^2e^-2t/tau. Integrando de 0 até t: UR(t)=integral0^tRi^2,dt'=RQ0^2tau^2integral0^te^-2t'/taudt'=RQ0^2tau^2cdottau2l(1-e^-2t/taur). Usando tau=RC R/tau=1/C, resultando em UR(t)=Q0^22Cl(1-e^-2t/taur)=U0l(1-e^-2t/taur), que é a energia dissipada no resistor até o tempo t.

Resposta

a) t=tauln4
b) t=tauln2
c) UR(t)=Q0^22Cl(1-e^-2t/taur)=U0l(1-e^-2t/taur)

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