Um circuito é descrito, para t>0, pela equação
d^2 vd t^2+5 d vd t+6 v=vs
Determine a resposta forçada vf(t) para:
vs(t)=2 e^-2 t V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, para t>0, o circuito satisfaz a equação
d^2 vd t^2 + 5 d vd t + 6,v = vs(t)
e que .
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem não-homogênea e a gente vai usar o método dos coeficientes não determinados para achar a resposta forçada . Precisamos saber:
• Como resolver a parte homogênea (só pra ver se o palpite do forçado é “resonante”)
• Como montar um chute para
• Como derivar e igualar à entrada pra achar coeficientes.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação característica da parte homogênea:
r^2 + 5r + 6 = 0 Longrightarrow (r+2)(r+3)=0
Logo, as raízes são vh(t)=C1 e^-2t+C2 e^-3t e . Isso nos diz que a solução geral da homogênea seria
Repare que a entrada coincide com uma raiz ( ), ou seja, há ressonância no termo .

Passo 3

Para a parte não-homogênea (resposta forçada), fazemos um chute do tipo
vf(t)=A,t,e^-2t,
em vez de simplesmente por causa dessa ressonância (multiplicamos por uma vez).

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de vf(t)=A,t,e^-2t :
1)
dvfdt = A,e^-2t + A,t,(-2)e^-2t = A,e^-2t -2A,t,e^-2t
d^2vfdt^2 = ddtl(Ae^-2t-2At,e^-2tr) = -2A,e^-2t ;-;2A,e^-2t ;+;4A,t,e^-2t = (-4A +4A,t),e^-2t

Passo 5

Substituímos tudo na equação original:
d^2vfdt^2 +5dvfdt +6vf = l[(-4A+4A,t) +5(A-2A,t)+6(A,t)r]e^-2t
No colchete:
-4A +4A,t +5A -10A,t +6A,t = (-4A+5A) + (4A-10A+6A),t = A +0cdot t = A
Então o LHS vira A=2 , que deve bater com a entrada . Logo

Resposta

A resposta forçada é
boxedvf(t)=2,t,e^-2t;V

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