Um circuito é descrito, para
, pela equação
Determine a resposta forçada
para:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, para t>0, o circuito satisfaz a equação
e que
.
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem não-homogênea e a gente vai usar o método dos coeficientes não determinados para achar a resposta forçada . Precisamos saber:
• Como resolver a parte homogênea (só pra ver se o palpite do forçado é “resonante”)
• Como montar um chute para
• Como derivar e igualar à entrada pra achar coeficientes.
O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem não-homogênea e a gente vai usar o método dos coeficientes não determinados para achar a resposta forçada
• Como resolver a parte homogênea (só pra ver se o palpite do forçado é “resonante”)
• Como montar um chute para
• Como derivar e igualar à entrada pra achar coeficientes.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação característica da parte homogênea:
Logo, as raízes são
e
. Isso nos diz que a solução geral da homogênea seria
Repare que a entrada
coincide com uma raiz (
), ou seja, há ressonância no termo
.
Passo 3
Para a parte não-homogênea (resposta forçada), fazemos um chute do tipo
em vez de simplesmente
por causa dessa ressonância (multiplicamos por
uma vez).
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
1)
1)
Passo 5
Substituímos tudo na equação original:
No colchete:
Então o LHS vira
, que deve bater com a entrada
. Logo
Resposta
A resposta forçada é