Um circuito é descrito, para t>0, pela equação
d^2 vd t^2+5 d vd t+6 v=vs
Determine a resposta forçada vf(t) para:
vs(t)=3 e^-4 t V.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o circuito para t>0:
d^2vdt^2 + 5,dvdt + 6,v = vs(t)
e o sinal de entrada é .
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e método dos coeficientes não determinados (particular).
Vamos precisar:
  1. Saber que a resposta forçada (particular) tem a mesma “forma” do .
  2. Encontrar essa solução particular colocando um palpite e igualando termos.

Passo 2

Palpite de solução particular: como vf(t) = A,e^-4t , tentamos
onde é uma constante a determinar.
Por quê? No método dos coeficientes não determinados, para entrada exponencial escolhemos resposta do tipo exponencial igual.

Passo 3

Agora calculamos derivadas de dvfdt = Acdot(-4)e^-4t = -4A,e^-4t, d^2vfdt^2 = (-4),(-4A)e^-4t = 16A,e^-4t :
16A,e^-4t + 5l(-4A,e^-4tr) + 6l(A,e^-4tr) = 3e^-4t
Substituímos na equação diferencial:
l(16A -20A +6Ar),e^-4t = 3e^-4t ;Longrightarrow; (16 -20 +6)A = 3 ;Longrightarrow; 2A = 3 ;Longrightarrow; A = tfrac32
Fatorando :

Resposta

boxedvf(t) = 32,e^-4t V

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