- Um circuito elétrico
é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de
é alimentado por uma fonte de tensão alternada
(volts). A carga inicial do capacitor é de
e a corrente no circuito é nula, determine:
a) A variaçäo da carga no capacitor;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (do enunciado e da figura):
- Indutor:
- Capacitor:
- Fonte:
- Carga inicial no capacitor:
- Corrente inicial:
(ou seja ).
- Indutor:
-
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar a variação da carga no capacitor — isto é, encontrar
para .
- (a) Determinar a variação da carga no capacitor — isto é, encontrar
Passo 2
Equação diferencial que governa o circuito
sem resistência (fórmula e derivação física).
-
Pela Lei das malhas (KVL) temos a soma das quedas de tensão igual à tensão da fonte:Aqui
é a corrente e é a carga no capacitor; relacionam-se por . -
Substituindo
obtemos a equação para : Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento harmônico.
Passo 3
Calcular frequências e constantes numéricas necessárias.
- Frequência natural do circuito (pulsação natural):
Calculemos:
-
Pulsação da fonte:
-
Observação numérica útil (aparecerá no denominador do particular):Logo
Passo 4
Resolver a equação homogênea (resposta transitória).
- A equação homogênea associada é
- A solução geral da homogênea (movimento livre do circuito) é
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Encontrar uma solução particular para o forçamento harmônico
.
- Procuramos uma solução particular da forma
Substituindo na ODE: - Agrupando os coeficientes de
e obtém-se o sistema Como (calculado no passo anterior), segue e - Com
e temos - Portanto a solução particular é
Passo 6
Construir a solução geral e aplicar as condições iniciais.
-
Solução geral:
-
Condições iniciais:
-
. Avaliando : -
. Calcule : Avaliando em :
-
Passo 7
Escrever a solução final e comentar rapidamente o significado (didático e motivador).
- Concluímos que a carga no capacitor para
é - Interpretação curta e útil para a prova: trata-se da soma de dois movimentos harmônicos — um termo livre (transitório) com amplitude
e frequência natural , que tende a persistir aqui (não há amortecimento no circuito ideal); e um termo forçado em regime permanente com amplitude e frequência da fonte . Na prática de prova, siga sempre os passos: montar a ODE, achar homogênea + particular, aplicar condições iniciais.