1. Um circuito elétrico L C é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de 0,8 \mu \mathrm{Fe} é alimentado por uma fonte de tensão alternada V=9 \cos 2.10^{4} t (volts). A carga inicial do capacitor é de 320 \mu \mathrm{C} e a corrente no circuito é nula, determine:
a) A variaçäo da carga no capacitor;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (do enunciado e da figura):
    • Indutor: L=2\\ \mathrm{mH}=2\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
    • Capacitor: C=0{,}8\\ \mu\mathrm{F}=0{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
    • Fonte: V(t)=9\cos\bigl(2\cdot10^{4}t\bigr)\\ \mathrm{V}.
    • Carga inicial no capacitor: q(0)=320\\ \mu\mathrm{C}=320\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • Corrente inicial: i(0)=0 (ou seja \dot q(0)=0).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar a variação da carga no capacitor — isto é, encontrar q(t) para t\ge0.

Passo 2

Equação diferencial que governa o circuito LC sem resistência (fórmula e derivação física).
  • Pela Lei das malhas (KVL) temos a soma das quedas de tensão igual à tensão da fonte:
    L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=V(t).
    Aqui i(t) é a corrente e q(t) é a carga no capacitor; relacionam-se por i(t)=\dot q(t)=\dfrac{dq}{dt}.
  • Substituindo i=\dot q obtemos a equação para q(t):
    L\ddot q+\frac{1}{C}q=V(t).
    Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento harmônico.

Passo 3

Calcular frequências e constantes numéricas necessárias.
  • Frequência natural do circuito (pulsação natural): \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.Calculemos: LC=(2\times10^{-3})(0{,}8\times10^{-6})=1{,}6\times10^{-9},
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{1{,}6\times10^{-9}}}=\sqrt{6{,}25\times10^{8}}=2{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Pulsação da fonte:
    \omega=2\cdot10^{4}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Observação numérica útil (aparecerá no denominador do particular):
    \frac{1}{C}=\frac{1}{0{,}8\times10^{-6}}=1{,}25\times10^{6}, \qquad L\omega^{2}=2\times10^{-3}\cdot(2\cdot10^{4})^{2}=2\times10^{-3}\cdot4\times10^{8}=8\times10^{5}.
    Logo
    \frac{1}{C}-L\omega^{2}=1{,}25\times10^{6}-8\times10^{5}=4{,}5\times10^{5}.

Passo 4

Resolver a equação homogênea (resposta transitória).
  • A equação homogênea associada é L\ddot q+\frac{1}{C}q=0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot q+\omega_0^{2}q=0.
  • A solução geral da homogênea (movimento livre do circuito) é q_h(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t),onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Encontrar uma solução particular para o forçamento harmônico V(t)=V_0\cos(\omega t).
  • Procuramos uma solução particular da forma q_p(t)=Q\cos(\omega t)+R\sin(\omega t).Substituindo na ODE: L(-\omega^{2})(Q\cos\omega t+R\sin\omega t)+\frac{1}{C}(Q\cos\omega t+R\sin\omega t)=V_0\cos\omega t.
  • Agrupando os coeficientes de \cos\omega t e \sin\omega t obtém-se o sistema \bigl(\tfrac{1}{C}-L\omega^{2}\bigr)Q=V_0, \qquad \bigl(\tfrac{1}{C}-L\omega^{2}\bigr)R=0.Como \tfrac{1}{C}-L\omega^{2}\neq0 (calculado no passo anterior), segue R=0 e Q=\frac{V_0}{\tfrac{1}{C}-L\omega^{2}}.
  • Com V_0=9\\ \mathrm{V} e \tfrac{1}{C}-L\omega^{2}=4{,}5\times10^{5} temos Q=\frac{9}{4{,}5\times10^{5}}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{C}=20\\ \mu\mathrm{C}.
  • Portanto a solução particular é q_p(t)=20\\ \mu\mathrm{C}\,\cos\bigl(2\cdot10^{4}t\bigr).

Passo 6

Construir a solução geral e aplicar as condições iniciais.
  • Solução geral:
    q(t)=q_h(t)+q_p(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)+20\\ \mu\mathrm{C}\cos\bigl(2\cdot10^{4}t\bigr).
  • Condições iniciais:
    • q(0)=320\\ \mu\mathrm{C}. Avaliando q(0): q(0)=A+0+20\\ \mu\mathrm{C}=320\\ \mu\mathrm{C}\quad\Rightarrow\quad A=300\\ \mu\mathrm{C}.
    • \dot q(0)=i(0)=0. Calcule \dot q(t): \dot q(t)=-A\omega_0\sin(\omega_0 t)+B\omega_0\cos(\omega_0 t)-20\\ \mu\mathrm{C}\cdot\omega\sin(\omega t).Avaliando em t=0: \dot q(0)=0+B\omega_0-0=0\quad\Rightarrow\quad B=0.

Passo 7

Escrever a solução final e comentar rapidamente o significado (didático e motivador).
  • Concluímos que a carga no capacitor para t\ge0 é q(t)=300\\ \mu\mathrm{C}\,\cos\bigl(2{,}5\cdot10^{4}t\bigr)+20\\ \mu\mathrm{C}\,\cos\bigl(2\cdot10^{4}t\bigr).
  • Interpretação curta e útil para a prova: trata-se da soma de dois movimentos harmônicos — um termo livre (transitório) com amplitude 300\\ \mu\mathrm{C} e frequência natural \omega_0=2{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{rad/s}, que tende a persistir aqui (não há amortecimento no circuito ideal); e um termo forçado em regime permanente com amplitude 20\\ \mu\mathrm{C} e frequência da fonte \omega=2\cdot10^{4}\\ \mathrm{rad/s}. Na prática de prova, siga sempre os passos: montar a ODE, achar homogênea + particular, aplicar condições iniciais.

Resposta

q(t)=300\\ \mu\mathrm{C}\,\cos\bigl(2{,}5\cdot10^{4}t\bigr)+20\\ \mu\mathrm{C}\,\cos\bigl(2\cdot10^{4}t\bigr)

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