1. Uma espira quadrada de 8,0 \cdot 10^{-\alpha} \mathrm{m} de lado está disposta em um plano perpendicular a um campo magnético uniforme, cuja indução magnética vale 5,0 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}. a) Qual é o fluxo magnético através da espira? b) Se o campo magnético for reduzido a zero em 0,10 s , qual será o valor absoluto da força eletromotriz média induzida na espira nesse intervalo de tempo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
  • Lado da espira (quadrada): \,a=8,0\cdot10^{-\alpha}\\ \mathrm{m}.
  • Indução magnética uniforme: \,B=5,0\cdot10^{-3}\\ \mathrm{T}.
  • A espira está num plano perpendicular ao campo magnético.
  • O campo magnético é reduzido a zero em \,\Delta t=0,10\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
(a) o fluxo magnético através da espira;
(b) o valor absoluto da força eletromotriz média induzida na espira durante o intervalo \,\Delta t.

Passo 2

Conceito e fórmula do fluxo magnético. O fluxo magnético através de uma superfície é definido por
\Phi=\iint \vec{B}\cdot d\vec{A},
onde:
  • \Phi é o fluxo magnético em weber ( \mathrm{Wb});
  • \vec{B} é o campo magnético (em tesla, \mathrm{T});
  • d\vec{A} é o elemento de área vetorial da superfície (magnitude é a área diferencial, direção é o vetor normal à superfície).
Para um campo uniforme e uma superfície plana com área A a fórmula simplifica para
\Phi = B\,A\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{B} e o vetor normal da superfície. Aqui a espira está em um plano perpendicular ao campo: isso significa que o vetor normal da espira é paralelo a \vec{B}, portanto \theta=0 e \cos\theta=1. Assim
\Phi = B\,A.

Passo 3

Cálculo da área da espira (é quadrada):
A = a^{2} = \bigl(8,0\cdot10^{-\alpha}\bigr)^{2}.
Fazendo a conta passo a passo:
(8,0)^{2}=64,0, \qquad \bigl(10^{-\alpha}\bigr)^{2}=10^{-2\alpha}.
Logo
A = 64,0\cdot10^{-2\alpha}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Cálculo do fluxo magnético usando \Phi = B\,A. Substituindo B e A:
\Phi = \bigl(5,0\cdot10^{-3}\bigr)\cdot\bigl(64,0\cdot10^{-2\alpha}\bigr).
Multiplicando os coeficientes numéricos e os fatores de potência de 10:
5,0\times64,0=320,0, \qquad 10^{-3}\times10^{-2\alpha}=10^{-3-2\alpha}.
Portanto
\Phi = 320,0\cdot10^{-3-2\alpha}\\ \mathrm{Wb}.
Colocando em notação científica com um único dígito antes da vírgula:
320,0\cdot10^{-3-2\alpha}=3,20\cdot10^{2}\cdot10^{-3-2\alpha}=3,20\cdot10^{-1-2\alpha}.
Assim o fluxo é
\Phi = 3,20\cdot10^{-1-2\alpha}\\ \mathrm{Wb}.

Passo 5

Fórmula para a força eletromotriz induzida (Lei de Faraday). A força eletromotriz instantânea é
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}.
O enunciado pede a força eletromotriz média em que o campo é reduzido de seu valor inicial até zero em \Delta t=0,10\\ \mathrm{s}. A variação do fluxo é \Delta\Phi=\Phi_{\text{final}}-\Phi_{\text{inicial}}. Como o campo é levado a zero, o fluxo final é zero, logo \Delta\Phi = 0-\Phi = -\Phi. A magnitude da força eletromotriz média é
\bigl|\overline{\mathcal{E}}\bigr|=\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}=\frac{\Phi}{\Delta t}.

Passo 6

Cálculo numérico da força eletromotriz média. Usando \Phi=3,20\cdot10^{-1-2\alpha}\\ \mathrm{Wb} e \Delta t=0,10\\ \mathrm{s}=1,0\cdot10^{-1}\\ \mathrm{s}:
\bigl|\overline{\mathcal{E}}\bigr|=\frac{3,20\cdot10^{-1-2\alpha}}{0,10} =3,20\cdot10^{-1-2\alpha}\div 1,0\cdot10^{-1}.
Dividir por 1,0\cdot10^{-1} equivale a multiplicar por 10^{1}, portanto
\bigl|\overline{\mathcal{E}}\bigr|=3,20\cdot10^{-1-2\alpha}\cdot10^{1}=3,20\cdot10^{-2\alpha}.
A unidade é volt ( \mathrm{V}). Observação física: o sinal da força eletromotriz seria negativo segundo a lei de Faraday (direção que se opõe à variação do fluxo), mas o enunciado pediu o valor absoluto, então apresentamos o módulo positivo.

Resposta

\Phi = 3,20\cdot10^{-1-2\alpha}\\ \mathrm{Wb}
\bigl|\overline{\mathcal{E}}\bigr| = 3,20\cdot10^{-2\alpha}\\ \mathrm{V}

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