Q3 Em um circuito elétrico composto por uma resistência (\mathrm{R}=200 \Omega), uma indutância (\mathrm{L}=50 \mathrm{ml}) e um capacitor (\mathrm{C}=0,2 \mu \mathrm{~F}) conectados em paralelo, a condições iniciais do capacitor e indutor são, v_{C}\left(0^{-}\right)=12 \mathrm{~V} e i_{L}\left(0^{-}\right)=30 \mathrm{~mA} respectivamente. Para esse circuito:
a) Calcule a tensão entre os bipolos, no domínio do tempo (1,0) ponto )
b) Calcule a frequência neperiana e a frequência de ressonância ( 0,5 ponto)
c) Que tipo de resposta o circuito apresenta?
Justifique sua resposta (0,5 ponto)

Passo 1

O enunciado dá um circuito paralelo com os seguintes dados e pede três coisas. Dados (pegos do enunciado):
  • Resistência: \,R=200\\ \Omega.
  • Indutância: \,L=50\\ \text{mH}=50\times10^{-3}\\ \text{H}=0{,}05\\ \text{H}.
  • Capacitância: \,C=0{,}2\\ \mu\text{F}=0{,}2\times10^{-6}\\ \text{F}=2\times10^{-7}\\ \text{F}.
  • Condições iniciais: \,v_C(0^-)=12\\ \text{V} e \,i_L(0^-)=30\\ \text{mA}=0{,}03\\ \text{A}.
O que o enunciado pede:
a) Calcular a tensão entre os bipolos no domínio do tempo, isto é v(t) para t\ge0.
b) Calcular a frequência neperiana e a frequência de ressonância.
c) Identificar que tipo de resposta o circuito apresenta e justificar.

Passo 2

Montagem da equação diferencial (estratégia): em paralelo a tensão é a mesma em todos os elementos, e pela Lei de Kirchhoff dos nós (KCL) a soma das correntes que saem do nó é zero (sem fonte externa, resposta natural):
i_R(t)+i_C(t)+i_L(t)=0.
As correntes em função da tensão v(t) são:
i_R(t)=\frac{v(t)}{R},\qquad i_C(t)=C\frac{dv(t)}{dt}.
Para o indutor usamos a relação diferencial entre tensão e corrente:
v(t)=L\frac{di_L(t)}{dt}\quad\Rightarrow\quad \frac{di_L(t)}{dt}=\frac{v(t)}{L}.
Substituindo i_R e i_C na KCL:
C\frac{dv}{dt}+\frac{v}{R}+i_L=0.
Para eliminar i_L derivamos essa equação em relação ao tempo e usamos \dfrac{di_L}{dt}=\dfrac{v}{L}. Derivando:
C\frac{d^2v}{dt^2}+\frac{1}{R}\frac{dv}{dt}+\frac{v}{L}=0.
Esta é a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem que descreve v(t).

Passo 3

Colocar na forma padrão dividindo por C. Definimos coeficientes numéricos:
\frac{1}{RC}=\frac{1}{200\cdot 2\times10^{-7}}=\frac{1}{4\times10^{-5}}=25000\\ \text{s}^{-1},
\frac{1}{LC}=\frac{1}{0{,}05\cdot 2\times10^{-7}}=\frac{1}{1\times10^{-8}}=1\times10^{8}\\ \text{s}^{-2}.
Logo a equação padrão é
\frac{d^{2}v}{dt^{2}}+25000\frac{dv}{dt}+1\times10^{8}\,v=0.
É útil reescrever na forma canônica de segunda ordem
\frac{d^{2}v}{dt^{2}}+2\alpha\frac{dv}{dt}+\omega_0^{2}v=0,
onde definimos a frequência neperiana \alpha e a freqüência natural (de ressonância angular) \omega_0 por
2\alpha=\frac{1}{RC},\qquad \omega_0^{2}=\frac{1}{LC}.
Calculamos:
\alpha=\frac{1}{2RC}=\frac{25000}{2}=12500\\ \text{s}^{-1},
\omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{1\times10^{8}}=10000\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Resolver a equação característica. A equação característica é
s^{2}+25000s+1\times10^{8}=0.
O discriminante é
\Delta=(25000)^{2}-4\cdot1\times10^{8}=625000000-400000000=225000000,
\sqrt{\Delta}=15000.
As raízes são
s_{1}=\frac{-25000+15000}{2}=-5000\\ \text{s}^{-1},
s_{2}=\frac{-25000-15000}{2}=-20000\\ \text{s}^{-1}.
Como são raízes reais distintas e negativas, a solução geral da tensão é
v(t)=A\,e^{-5000 t}+B\,e^{-20000 t}.

Passo 5

Determinar as constantes A\) e \(B\) com as condições iniciais. Temos \(v(0)=12\), logo \[A+B=12.
Precisamos de \dfrac{dv}{dt}(0). Usamos a equação de KCL no instante 0:
C\frac{dv}{dt}\Big|_{0}+\frac{v(0)}{R}+i_L(0)=0
\Rightarrow \frac{dv}{dt}\Big|_{0}=-\frac{1}{C}\Big(\frac{v(0)}{R}+i_L(0)\Big).
Substituindo números:
\frac{dv}{dt}\Big|_{0}=-\frac{1}{2\times10^{-7}}\Big(\frac{12}{200}+0{,}03\Big) =-5\times10^{6}\cdot(0{,}06+0{,}03)=-5\times10^{6}\cdot0{,}09=-450000\\ \text{V/s}.
Também pela solução geral
\frac{dv}{dt}(t)=A(-5000)e^{-5000 t}+B(-20000)e^{-20000 t},
logo em t=0:
-5000A-20000B=-450000.
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} A+B=12,\\[4pt] -5000A-20000B=-450000. \end{cases}
Da primeira (A=12-B]. Substituindo:
-5000(12-B)-20000B=-450000
-60000+5000B-20000B=-450000
-60000-15000B=-450000
-15000B=-390000\quad\Rightarrow\quad B=26.
Então A=12-26=-14.]

Passo 6

Colocar a solução final de v(t) com os coeficientes encontrados:
\boxed{\,v(t)=-14\,e^{-5000 t}+26\,e^{-20000 t}\\ \text{(volts)},\qquad t\ge0.}
(Verificação rápida: em t=0 -14+26=12 V; derivada em 0 confere com -450000\\ \text{V/s}.)

Passo 7

Frequências pedidas (resumo numérico e interpretação):
  • Frequência neperiana (amortecimento): \displaystyle \alpha=\frac{1}{2RC}=12500\\ \text{s}^{-1}.
  • Frequência de ressonância angular: \displaystyle \omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=10000\\ \text{rad/s}.
  • Em Hz: \displaystyle f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{10000}{2\pi}\approx1591{,}55\\ \text{Hz}.

Passo 8

Tipo de resposta e justificativa (intuitiva e matricial):
  • Critério teórico: comparar \alpha e \omega_0.
    • Se \alpha>\omega_0 então as raízes são reais e distintas (resposta aperiodica superamortecida).
    • Se \alpha=\omega_0 resposta criticamente amortecida.
    • Se \alpha<\omega_0 resposta subamortecida (oscilatória).
  • Aqui \alpha=12500\\ \text{s}^{-1} e \omega_0=10000\\ \text{rad/s}, logo \alpha>\omega_0. As raízes foram -5000 e -20000, reais e negativas: não há termos oscilatórios (senos/cossenos). Portanto o circuito apresenta resposta aperiodica superamortecida (overdamped), ou em português técnico: resposta “aperiódica superamortecida” (sem oscilações, decai como soma de dois decaimentos exponenciais).

Resposta

v(t)=-14\,e^{-5000 t}+26\,e^{-20000 t}\\ \text{V},\\ t\ge0
\alpha=12500\\ \text{s}^{-1};\\ \omega_0=10000\\ \text{rad/s}\\ (f_0\approx1591{,}55\\ \text{Hz})
Resposta do circuito: aperiodica superamortecida (overdamped).

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