Q3 Em um circuito elétrico composto por uma resistência (\mathrm{R}=200 \Omega), uma indutância (\mathrm{L}=50 \mathrm{ml}) e um capacitor (\mathrm{C}=0,2 \mu \mathrm{~F}) conectados em paralelo, a condições iniciais do capacitor e indutor são, v_{C}\left(0^{-}\right)=12 \mathrm{~V} e i_{L}\left(0^{-}\right)=30 \mathrm{~mA} respectivamente. Para esse circuito:
a) Calcule a tensão entre os bipolos, no domínio do tempo (1,0) ponto )
b) Calcule a frequência neperiana e a frequência de ressonância ( 0,5 ponto)
c) Que tipo de resposta o circuito apresenta?
Justifique sua resposta (0,5 ponto)
Passo 1
O enunciado dá um circuito paralelo com os seguintes dados e pede três coisas. Dados (pegos do enunciado):
Condições iniciais: \,v_C(0^-)=12\\ \text{V} e \,i_L(0^-)=30\\ \text{mA}=0{,}03\\ \text{A}.
O que o enunciado pede:
a) Calcular a tensão entre os bipolos no domínio do tempo, isto é v(t) para t\ge0.
b) Calcular a frequência neperiana e a frequência de ressonância.
c) Identificar que tipo de resposta o circuito apresenta e justificar.
Passo 2
Montagem da equação diferencial (estratégia): em paralelo a tensão é a mesma em todos os elementos, e pela Lei de Kirchhoff dos nós (KCL) a soma das correntes que saem do nó é zero (sem fonte externa, resposta natural):
Frequência de ressonância angular: \displaystyle \omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=10000\\ \text{rad/s}.
Em Hz: \displaystyle f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{10000}{2\pi}\approx1591{,}55\\ \text{Hz}.
Passo 8
Tipo de resposta e justificativa (intuitiva e matricial):
Critério teórico: comparar \alpha e \omega_0.
Se \alpha>\omega_0 então as raízes são reais e distintas (resposta aperiodica superamortecida).
Se \alpha=\omega_0 resposta criticamente amortecida.
Se \alpha<\omega_0 resposta subamortecida (oscilatória).
Aqui \alpha=12500\\ \text{s}^{-1} e \omega_0=10000\\ \text{rad/s}, logo \alpha>\omega_0. As raízes foram -5000 e -20000, reais e negativas: não há termos oscilatórios (senos/cossenos). Portanto o circuito apresenta resposta aperiodica superamortecida (overdamped), ou em português técnico: resposta “aperiódica superamortecida” (sem oscilações, decai como soma de dois decaimentos exponenciais).