1. Um circuito elétrico L C é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de 0,8 \mu \mathrm{~F}. A carga inicial do capacitor é de 5 \mu \mathrm{C} e a corrente no circuito é nula, determine:
c) Calcule a energia total armazenada no circuito;

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei L e C da imagem):
  • Pedido: calcular a energia total armazenada no circuito LC no instante inicial.
  • Dados:
    • L = 2\\ \mathrm{mH} (valor tirado da imagem).
    • C = 0,8\\ \mu\mathrm{F} (valor tirado da imagem).
    • Carga inicial do capacitor Q_0 = 5\\ \mu\mathrm{C}.
    • Corrente inicial no circuito I_0 = 0.
      Esses são todos os dados relevantes fornecidos.

Passo 2

Formulas e ideia física — por que isso basta:
  • Energia armazenada num capacitor: U_C = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}\,C\,V^2,
onde:
  • U_C é a energia no capacitor (em joules),
  • Q é a carga no capacitor (em coulombs),
  • C é a capacitância (em farads),
  • V é a tensão no capacitor (em volts) e vale V=Q/C.
  • Energia armazenada num indutor: U_L = \frac{1}{2}\,L\,I^2,
onde:
  • U_L é a energia no indutor,
  • L é a indutância (em henry),
  • I é a corrente (em ampere).
  • Em um circuito ideal LC sem perdas a energia total \,U_{\text{tot}}=U_C+U_L é constante no tempo. No instante inicial foi dado I_0=0, logo U_L(0)=0 e toda a energia está armazenada no capacitor. Portanto basta calcular U_C com Q_0 e C.

Passo 3

Converter para unidades do SI (para fazer contas sem confusão):
  • L = 2\\ \mathrm{mH} = 2\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
  • C = 0,8\\ \mu\mathrm{F} = 0,8\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Q_0 = 5\\ \mu\mathrm{C} = 5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Calcular a energia inicial no capacitor usando \,U_C=\dfrac{Q^2}{2C}:
U_{\text{tot}} = U_C(0) = \frac{Q_0^2}{2C}.
Substituindo os valores:
U_{\text{tot}} = \frac{(5\times10^{-6})^2}{2\cdot(0,8\times10^{-6})}.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo (manipulação de potências de 10 e números):
  • Primeiro Q_0^2=(5\times10^{-6})^2=25\times10^{-12}=2,5\times10^{-11}.
  • Denominador 2C = 2\cdot(0,8\times10^{-6})=1,6\times10^{-6}.
  • Dividindo: U_{\text{tot}}=\frac{2,5\times10^{-11}}{1,6\times10^{-6}}=\frac{2,5}{1,6}\times10^{-11+6}.
  • \dfrac{2,5}{1,6}=1,5625. Portanto U_{\text{tot}} = 1,5625\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.
  • Em unidades mais usuais: 1,5625\times10^{-5}\\ \mathrm{J}=15,625\\ \mu\mathrm{J}.
    (Como verificação alternativa rápida: V_0=Q_0/C=5\times10^{-6}/0,8\times10^{-6}=6,25\\ \mathrm{V} e \tfrac{1}{2}CV_0^2=\tfrac{1}{2}\cdot0,8\times10^{-6}\cdot(6,25)^2 dá o mesmo resultado.)

Passo 6

Interpretação final e incentivo:
  • A energia total armazenada no circuito inicial é a energia do capacitor calculada acima, pois a corrente inicial é nula. Pronto — esse é o valor que vai oscilar entre capacitor e indutor durante o movimento livre do circuito LC (sem perdas). Você conseguiu — esse cálculo é direto quando se lembra das fórmulas e faz as conversões de unidades com calma!

Resposta

U_{\text{tot}} = 1,5625\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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