- Um circuito elétrico
é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de
. A carga inicial do capacitor é de
e a corrente no circuito é nula, determine:
a) A variação da carga no capacitor;
Passo 1
O enunciado pede: “A variação da carga no capacitor”.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Indutor:
. (peguei este valor da imagem) - Capacitor:
. (peguei este valor da imagem) - Carga inicial no capacitor:
. - Corrente inicial no circuito:
.
O que devemos encontrar: uma expressão temporal que descreva como a carga
no capacitor varia ao longo do tempo, e a variação da carga em relação ao valor inicial (isto é,
).
Passo 2
Montando a equação dinâmica do circuito LC (intuição e física):
- Em um circuito fechado LC ideal (sem resistência), a soma algébrica das tensões ao longo do laço é zero (lei de Kirchhoff para tensões).
- A tensão no indutor é
. Aqui é a corrente instantânea e é a indutância. - A tensão no capacitor é
. Aqui é a carga no capacitor e é a capacitância. - Como
, aplicando a lei de tensões ao laço obtemos:
Substituindo
resulta na equação diferencial de segunda ordem:
Explicando cada termo:
-
é a derivada segunda da carga em relação ao tempo (aceleração da carga, ligada à variação da corrente). - O termo
é a tensão no capacitor que tende a restaurar a carga a zero.
Essa equação é análoga a um oscilador harmônico simples.
Passo 3
Resolver a equação diferencial:
Escrevendo de forma padrão:
Escrevendo de forma padrão:
Esta é a equação do oscilador harmônico com pulsação angular
A solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Para encontrar e
usamos:
Para encontrar
-
, onde é a carga inicial. -
. Então . Logo .
Passo 4
Aplicando as condições iniciais do enunciado:
e
.
Assim e
. Portanto
Assim
Agora calculamos a pulsação
numericamente usando
e
(peguei
e
da imagem):
Calcule
:
Raiz:
Logo
Podemos também dar a frequência e o período:
Passo 5
Expressão para a variação da carga (o que o enunciado pediu):
Definindo a variação em relação ao valor inicial por , usando
e a solução encontrada:
Definindo a variação em relação ao valor inicial por
Substituindo
e
, obtemos a variação completa:
Interpretação física simples e útil para a prova:
- A carga oscila harmonicamente entre
e , isto é, entre e . - O maior deslocamento possível a partir do valor inicial
é (ocorre em , quando ).
Passo 6
Resumo prático para a prova (como lembrar e aplicar rápido):
- Escreva a ODE
. - Identifique
. - Use
. - No caso dado,
simplifica para .
Isso resolve a maioria das questões tipo (a) sobre variação de carga em circuito LC ideal.