Um circuito elétrico L C é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de 0,8 \mu \mathrm{~F}. A carga inicial do capacitor é de 5 \mu \mathrm{C} e a corrente no circuito é nula, determine:
b) A variação da corrente no circuito;
Passo 1
O enunciado pede: determine a variação da corrente no circuito (isto é, como a corrente varia no tempo).
Informações dadas (peguei algumas diretamente da figura enviada):
Indutância: L=2\\ \mathrm{mH} (peguei da imagem).
Capacitância: C=0{,}8\\ \mu\mathrm{F} (peguei da imagem).
Carga inicial do capacitor: Q_0=5\\ \mu\mathrm{C}.
Corrente inicial: i(0)=0.
Esses são todos os dados relevantes. O objetivo agora é achar i(t), a corrente no circuito em função do tempo, mostrando passo a passo como chegar lá.
Passo 2
Montagem física e equação fundamental: num circuito LC ideal sem resistência a energia troca entre o capacitor e o indutor. Usando a Lei de Kirchhoff de tensões, a soma das quedas de tensão ao longo do laço é nula. A tensão no indutor é L\,\dfrac{di}{dt} e a tensão no capacitor é \dfrac{q}{C}, onde q(t) é a carga no capacitor e i(t)=\dfrac{dq}{dt} é a corrente. Portanto a equação diferencial que descreve o sistema é
L\,\frac{d i}{dt}+\frac{q}{C}=0.
Substituindo i=\dfrac{dq}{dt} obtemos uma equação apenas para q(t):
L\,\frac{d^2 q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0.
Explicando as variáveis:
q(t) é a carga no capacitor em coulombs.
i(t)=\dfrac{dq}{dt} é a corrente em amperes.
L e C são a indutância e a capacitância dadas.
Passo 3
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com solução harmônica. Podemos escrever na forma padrão
\frac{d^2 q}{dt^2}+\omega^2 q=0,
onde o termo \omega (frequência angular) é definido por
\omega=\frac{1}{\sqrt{L C}}.
A solução geral para q(t) é
q(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
com constantes A e B determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicando as condições iniciais: q(0)=Q_0 e i(0)=\dfrac{dq}{dt}\big|_{t=0}=0.
Em t=0: q(0)=A=Q_0.
Derivando q(t): \dfrac{dq}{dt}=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t). Em t=0 isso vale \dfrac{dq}{dt}(0)=B\omega. Como \dfrac{dq}{dt}(0)=0, segue B=0.
Logo a solução específica para a carga é
q(t)=Q_0\cos(\omega t).
A corrente é a derivada:
i(t)=\frac{dq}{dt}=-Q_0\,\omega\sin(\omega t).
Isto já é a expressão que descreve a variação da corrente no tempo: uma senóide multiplicada por -Q_0\omega.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos \omega:
L C = (2\times10^{-3})\cdot(0{,}8\times10^{-6})=1{,}6\times10^{-9},
Observações úteis que ajudam na prova: o sinal negativo indica direção (dependendo da convenção de sinal escolhida para q e i); a corrente oscila senoidalmente com amplitude 0{,}125\\ \mathrm{A} e frequência angular 25{,}000\\ \mathrm{rad/s}. O período é