1. Um circuito elétrico L C é composto por um indutor de 2 mH e um capacitor de 0,8 \mu \mathrm{~F}. A carga inicial do capacitor é de 5 \mu \mathrm{C} e a corrente no circuito é nula, determine:
b) A variação da corrente no circuito;

Passo 1

O enunciado pede: determine a variação da corrente no circuito (isto é, como a corrente varia no tempo).
Informações dadas (peguei algumas diretamente da figura enviada):
  • Indutância: L=2\\ \mathrm{mH} (peguei da imagem).
  • Capacitância: C=0{,}8\\ \mu\mathrm{F} (peguei da imagem).
  • Carga inicial do capacitor: Q_0=5\\ \mu\mathrm{C}.
  • Corrente inicial: i(0)=0.
Esses são todos os dados relevantes. O objetivo agora é achar i(t), a corrente no circuito em função do tempo, mostrando passo a passo como chegar lá.

Passo 2

Montagem física e equação fundamental: num circuito LC ideal sem resistência a energia troca entre o capacitor e o indutor. Usando a Lei de Kirchhoff de tensões, a soma das quedas de tensão ao longo do laço é nula. A tensão no indutor é L\,\dfrac{di}{dt} e a tensão no capacitor é \dfrac{q}{C}, onde q(t) é a carga no capacitor e i(t)=\dfrac{dq}{dt} é a corrente. Portanto a equação diferencial que descreve o sistema é
L\,\frac{d i}{dt}+\frac{q}{C}=0.
Substituindo i=\dfrac{dq}{dt} obtemos uma equação apenas para q(t):
L\,\frac{d^2 q}{dt^2}+\frac{q}{C}=0.
Explicando as variáveis:
  • q(t) é a carga no capacitor em coulombs.
  • i(t)=\dfrac{dq}{dt} é a corrente em amperes.
  • L e C são a indutância e a capacitância dadas.

Passo 3

Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com solução harmônica. Podemos escrever na forma padrão
\frac{d^2 q}{dt^2}+\omega^2 q=0,
onde o termo \omega (frequência angular) é definido por
\omega=\frac{1}{\sqrt{L C}}.
A solução geral para q(t) é
q(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
com constantes A e B determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicando as condições iniciais: q(0)=Q_0 e i(0)=\dfrac{dq}{dt}\big|_{t=0}=0.
  • Em t=0: q(0)=A=Q_0.
  • Derivando q(t): \dfrac{dq}{dt}=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t). Em t=0 isso vale \dfrac{dq}{dt}(0)=B\omega. Como \dfrac{dq}{dt}(0)=0, segue B=0.
Logo a solução específica para a carga é
q(t)=Q_0\cos(\omega t).
A corrente é a derivada:
i(t)=\frac{dq}{dt}=-Q_0\,\omega\sin(\omega t).
Isto já é a expressão que descreve a variação da corrente no tempo: uma senóide multiplicada por -Q_0\omega.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos \omega:
L C = (2\times10^{-3})\cdot(0{,}8\times10^{-6})=1{,}6\times10^{-9},
\sqrt{L C}=\sqrt{1{,}6\times10^{-9}}=4{,}0\times10^{-5},
\omega=\frac{1}{\sqrt{L C}}=\frac{1}{4{,}0\times10^{-5}}=25{,}000\\ \mathrm{rad/s}.
Agora a amplitude da corrente I_{\max}=Q_0\omega:
Q_0\omega=(5\times10^{-6})\cdot(25{,}000)=0{,}125\\ \mathrm{A}=125\\ \mathrm{mA}.
Portanto a corrente no tempo é
i(t)=-Q_0\omega\sin(\omega t)=-0{,}125\sin\!\big(25{,}000\,t\big)\\ \mathrm{A}.
Observações úteis que ajudam na prova: o sinal negativo indica direção (dependendo da convenção de sinal escolhida para q e i); a corrente oscila senoidalmente com amplitude 0{,}125\\ \mathrm{A} e frequência angular 25{,}000\\ \mathrm{rad/s}. O período é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{25{,}000}\approx0{,}000251\\ \mathrm{s}=0{,}251\\ \mathrm{ms}.

Resposta

i(t)=-0{,}125\sin\!\big(25{,}000\,t\big)\\ \mathrm{A}

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