Faça as decomposições das seguintes frações em frações parciais, e resolva as integrais.
,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes que já temos do enunciado:
é uma função racional; o denominador pode ser fatorado como
. O intervalo de integração é
, que não contém os pontos
nem
(ou seja, a integranda é contínua em
), então a integral definida é própria e bem definida.
Passo 2
Vamos reescrever a função
usando a fatoração do denominador. Primeiro, escrevo a fatoração explicitamente:
Isso é útil porque funções racionais com denominador fatorável em termos lineares podem ser escritas como soma de frações simples (frações parciais) da forma
. Não estou resolvendo ainda, só mostrando a forma que vamos buscar.
Passo 3
Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Assumimos que existem constantes
e
tais que
Para encontrar
e
multiplicamos ambos os lados por
(o denominador comum), obtendo a identidade em
:
Essa igualdade deve valer para todo
, então podemos determinar
e
.
Passo 4
Uma forma prática de achar
e
é usar valores de
que simplifiquem a identidade. Tomo
:
Agora tomo
:
Portanto a decomposição é
Passo 5
Agora integro termo a termo. Lembre que a primitiva (antiderivada) de
é
. Explico por que: derivando
obtemos
(pela regra da cadeia a constante
some), e o valor absoluto é para garantir que o logaritmo esteja bem definido para entradas negativas também. Assim
Aplicando isso à nossa decomposição, uma primitiva da integranda é
Passo 6
Como queremos a integral definida de
a
, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
(onde
é a primitiva encontrada).
Calculo :
Calculo
Calculo
:
Lembre que
.
Passo 7
Agora subtraio
de
:
Agrupando os termos e simplificando:
Usando propriedades dos logaritmos
e
, podemos simplificar mais direto. Observe que
. Então
Passo 8
Interpretação final: a integral definida tem valor positivo porque
e
. A simplificação final que podemos apresentar é