Faça as decomposições das seguintes frações em frações parciais, e resolva as integrais.
\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}-1} d x,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}-1}\,dx.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\displaystyle \frac{1}{x^{2}-1} é uma função racional; o denominador pode ser fatorado como (x-1)(x+1). O intervalo de integração é [2,3], que não contém os pontos x=1 nem x=-1 (ou seja, a integranda é contínua em [2,3]), então a integral definida é própria e bem definida.

Passo 2

Vamos reescrever a função \displaystyle \frac{1}{x^{2}-1} usando a fatoração do denominador. Primeiro, escrevo a fatoração explicitamente:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Isso é útil porque funções racionais com denominador fatorável em termos lineares podem ser escritas como soma de frações simples (frações parciais) da forma \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}. Não estou resolvendo ainda, só mostrando a forma que vamos buscar.

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Assumimos que existem constantes A e B tais que
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
Para encontrar A e B multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1) (o denominador comum), obtendo a identidade em x:
1 = A(x+1) + B(x-1).
Essa igualdade deve valer para todo x, então podemos determinar A e B.

Passo 4

Uma forma prática de achar A e B é usar valores de x que simplifiquem a identidade. Tomo x=1:
1 = A(1+1) + B(1-1) \Rightarrow 1 = 2A + 0 \Rightarrow A=\frac{1}{2}.
Agora tomo x=-1:
1 = A(-1+1) + B(-1-1) \Rightarrow 1 = 0 + B(-2) \Rightarrow B=-\frac{1}{2}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right).

Passo 5

Agora integro termo a termo. Lembre que a primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{x-a} é \ln|x-a|. Explico por que: derivando \ln|x-a| obtemos \dfrac{1}{x-a} (pela regra da cadeia a constante a some), e o valor absoluto é para garantir que o logaritmo esteja bem definido para entradas negativas também. Assim
\int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1|+C,\qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C.
Aplicando isso à nossa decomposição, uma primitiva da integranda é
F(x)=\frac{1}{2}\big(\ln|x-1|-\ln|x+1|\big)+C.

Passo 6

Como queremos a integral definida de 2 a 3, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(3)-F(2) (onde F é a primitiva encontrada).
Calculo F(3):
F(3)=\frac{1}{2}\big(\ln|3-1|-\ln|3+1|\big)=\frac{1}{2}\big(\ln 2-\ln 4\big).
Calculo F(2):
F(2)=\frac{1}{2}\big(\ln|2-1|-\ln|2+1|\big)=\frac{1}{2}\big(\ln 1-\ln 3\big).
Lembre que \ln 1=0.

Passo 7

Agora subtraio F(2) de F(3):
\int_{2}^{3}\frac{1}{x^{2}-1}\,dx = F(3)-F(2) =\frac{1}{2}\big(\ln 2-\ln 4\big)-\frac{1}{2}\big(0-\ln 3\big).
Agrupando os termos e simplificando:
=\frac{1}{2}\big(\ln 2-\ln 4 +\ln 3\big) =\frac{1}{2}\big(\ln 3 + \ln 2 - \ln 4\big).
Usando propriedades dos logaritmos \ln a + \ln b = \ln(ab) e \ln a - \ln b = \ln(a/b), podemos simplificar mais direto. Observe que \ln 2-\ln 4=\ln\!\left(\dfrac{2}{4}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln 2. Então
F(3)-F(2)=\frac{1}{2}\big(-\ln 2 + \ln 3\big)=\frac{1}{2}\big(\ln 3 - \ln 2\big)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).

Passo 8

Interpretação final: a integral definida tem valor positivo porque \dfrac{3}{2}>1 e \ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)>0. A simplificação final que podemos apresentar é
\int_{2}^{3}\frac{1}{x^{2}-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)

Exercícios relacionados