Em um circuito L C amortecido, determine o instante em que a energia máxima presente no capacitor é a metade da energia máxima presente no instante t=0. Suponha q=Q para t=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o instante em que a energia máxima armazenada no capacitor é a metade da energia máxima presente em t=0. Informação dada: a carga no capacitor em t=0 é q=Q. Vou tomar a suposição natural (comum neste problema) de que a corrente inicial é nula, o que faz com que a energia no capacitor em t=0 seja um pico inicial. Não estou resolvendo a partir de valores numéricos de R,L,C; vou usar as constantes usuais do regime amortecido.

Passo 2

Relembrando o comportamento da carga num circuito RLC subamortecido: a solução do movimento da carga no capacitor é da forma
q(t)=Q\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d} t),
onde explico cada termo:
  • \alpha é a taxa de amortecimento, definida por \alpha=\dfrac{R}{2L} no circuito série (ou, de modo geral, a parte exponencial do decaimento); ela tem unidades de \text{s}^{-1}.
  • \omega_{d} é a frequência angular amortecida, dada por \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}, com \omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} a frequência natural.
    A interpretação física: a amplitude da oscilação decai exponencialmente como Qe^{-\alpha t}.

Passo 3

Fórmula da energia armazenada no capacitor: a energia instantânea no capacitor é
U_C(t)=\frac{q(t)^2}{2C}.
Explico: q(t) é a carga no capacitor em coulombs, C é a capacitância; a expressão vem da energia em um capacitor U=\tfrac{1}{2}CV^2 e V=q/C, daí U=\tfrac{q^2}{2C}.

Passo 4

Como a amplitude da carga é Qe^{-\alpha t}, os picos máximos de |q(t)| (os instantes em que \cos(\omega_{d} t)=\pm 1) têm valor absoluto igual a Qe^{-\alpha t}. Portanto os máximos da energia do capacitor seguem o envelope
U_{C,\text{max}}(t)=\frac{\big(Q e^{-\alpha t}\big)^2}{2C}=\frac{Q^2}{2C}\,e^{-2\alpha t}.
Aqui \dfrac{Q^2}{2C}=U_{C,\text{max}}(0) é a energia máxima inicial em t=0.

Passo 5

Queremos o instante t tal que o máximo da energia no capacitor valha a metade do máximo inicial. Ou seja,
U_{C,\text{max}}(t)=\tfrac{1}{2}U_{C,\text{max}}(0).
Substituindo a expressão do envelope:
\frac{Q^2}{2C}\,e^{-2\alpha t}=\frac{1}{2}\cdot\frac{Q^2}{2C}.

Passo 6

Simplifico a equação cancelando \dfrac{Q^2}{2C} dos dois lados:
e^{-2\alpha t}=\frac{1}{2}.
Agora resolvo para t. Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-2\alpha t=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2.
Isolando t obtemos
t=\frac{\ln 2}{2\alpha}.

Passo 7

Se quiser expressar em termos dos elementos do circuito série R e L, substitua \alpha=\dfrac{R}{2L}. Assim
t=\frac{\ln 2}{2\alpha}=\frac{\ln 2}{2\cdot(R/(2L))}=\frac{L\ln 2}{R}.
Interpretação: cada vez que passa um tempo \dfrac{L\ln 2}{R} a energia máxima do capacitor cai pela metade.

Resposta

\displaystyle t=\frac{\ln 2}{2\alpha}
\displaystyle t=\frac{L\ln 2}{R}

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