Em um circuito
amortecido, determine o instante em que a energia máxima presente no capacitor é a metade da energia máxima presente no instante
. Suponha
para
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o instante em que a energia máxima armazenada no capacitor é a metade da energia máxima presente em
. Informação dada: a carga no capacitor em
é
. Vou tomar a suposição natural (comum neste problema) de que a corrente inicial é nula, o que faz com que a energia no capacitor em
seja um pico inicial. Não estou resolvendo a partir de valores numéricos de
; vou usar as constantes usuais do regime amortecido.
Passo 2
Relembrando o comportamento da carga num circuito RLC subamortecido: a solução do movimento da carga no capacitor é da forma
onde explico cada termo:
-
é a taxa de amortecimento, definida por no circuito série (ou, de modo geral, a parte exponencial do decaimento); ela tem unidades de . -
é a frequência angular amortecida, dada por , com a frequência natural.
A interpretação física: a amplitude da oscilação decai exponencialmente como.
Passo 3
Fórmula da energia armazenada no capacitor: a energia instantânea no capacitor é
Explico:
é a carga no capacitor em coulombs,
é a capacitância; a expressão vem da energia em um capacitor
e
, daí
.
Passo 4
Como a amplitude da carga é
, os picos máximos de
(os instantes em que
) têm valor absoluto igual a
. Portanto os máximos da energia do capacitor seguem o envelope
Aqui
é a energia máxima inicial em
.
Passo 5
Queremos o instante
tal que o máximo da energia no capacitor valha a metade do máximo inicial. Ou seja,
Substituindo a expressão do envelope:
Passo 6
Simplifico a equação cancelando
dos dois lados:
Agora resolvo para
. Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Isolando
obtemos
Passo 7
Se quiser expressar em termos dos elementos do circuito série
e
, substitua
. Assim
Interpretação: cada vez que passa um tempo
a energia máxima do capacitor cai pela metade.